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Questão 178 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H6 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano \alpha é paralelo à linha do equador na figura.

Globo terrestre com A e B sobre um mesmo paralelo ao sul da linha do Equador, C ao norte de B sobre o mesmo meridiano, caminho de A a B e de B a C, e plano α abaixo do globo.

A projeção ortogonal, no plano \alpha, do caminho traçado no globo pode ser representada por

  1. A
    Caminho de A a B em arco curvado para baixo, seguido de um arco de B a C curvado para a direita.
  2. B
    Segmento horizontal de A a B, seguido de segmento vertical de B a C.
  3. C
    Segmento horizontal de A até o ponto em que B e C coincidem.
  4. D
    Arco de A até o ponto em que B e C coincidem, curvado para baixo.
  5. E
    Arco de A a B curvado para baixo e pequeno segmento inclinado de B a C, com C acima e à esquerda de B.
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Resolução comentada

O plano \alpha é paralelo ao Equador, então o eixo Norte-Sul da Terra é perpendicular a ele. Projetar ortogonalmente no plano significa "deixar cair" cada ponto por uma reta perpendicular a \alpha, ou seja, uma reta paralela ao eixo Norte-Sul.

Analise cada trecho do caminho:

  1. Trecho AB: está sobre um paralelo, que é uma circunferência contida em um plano paralelo ao Equador (e a \alpha). A projeção de uma circunferência sobre um plano paralelo a ela é uma circunferência de mesmo raio. Logo, o trecho AB se projeta em um arco de circunferência, com a curvatura do paralelo.

  2. Trecho BC: está sobre um meridiano, que fica contido em um plano perpendicular ao Equador e, portanto, perpendicular a \alpha. Todo ponto desse meridiano se projeta na reta de interseção desse plano com \alpha. Logo, o trecho BC se projeta em um segmento de reta.

  3. Como B e C estão no mesmo meridiano, a projeção do meridiano é um segmento, e C não coincide com B, pois têm latitudes diferentes, portanto raios de paralelo diferentes e distâncias diferentes ao eixo. O segmento BC é inclinado em relação ao arco, apontando para o eixo, pois C está mais próximo do eixo, e a projeção de B fica na borda maior.

Assim, a projeção é um arco de A até B seguido de um pequeno segmento de reta de B até C. Isso corresponde à figura da alternativa E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADesenha o meridiano projetado como arco, mas ele se projeta em um segmento de reta.
  • BProjeta o paralelo como segmento reto, mas ele é uma circunferência paralela a \alpha e se projeta em arco.
  • CTrata os dois trechos como retos e faz B coincidir com C, o que é falso.
  • DFaz B e C coincidirem; isso só ocorreria se estivessem sobre a mesma reta perpendicular a \alpha, o que não vale para pontos de latitudes diferentes.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Esfera.

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