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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 175 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada.

Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?

  1. A
    Quadrados, apenas.
  2. B
    Triângulos e quadrados, apenas.
  3. C
    Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.
  4. D
    Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.
  5. E
    Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas.
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Resolução comentada

Uma pirâmide regular de base quadrada tem 5 faces: a base (quadrada) e 4 faces laterais triangulares. Quando um plano corta o sólido, a seção é um polígono cujos lados vêm de cada face atravessada pelo plano. Logo, a seção tem no máximo 5 lados. Vejamos quais casos acontecem:

  1. Triângulo: plano que passa pelo vértice e corta a base, ou plano que corta só as três faces perto de um vértice da base. Possível.
  2. Quadrado: plano paralelo à base, cortando as 4 faces laterais. A seção é um quadrado menor. Possível.
  3. Trapézio: plano inclinado, que corta as 4 faces laterais e é paralelo a apenas duas arestas da base. Possível.
  4. Quadrilátero irregular: plano que corta as 4 faces laterais de forma inclinada, sem paralelismo com os lados, ou passa pelo vértice e corta a base e duas faces, formando um quadrilátero qualquer. Possível.
  5. Pentágono: plano que corta a base e as 4 faces laterais, cruzando as 5 faces. Por exemplo, um plano que "corta um canto" da base e sobe atravessando as quatro laterais. Possível.

Como o máximo é 5 lados e todos os casos de 3, 4 (quadrado, trapézio, irregular) e 5 lados ocorrem, a lista completa é: triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só o corte paralelo à base, que dá quadrado, ignorando os cortes inclinados.
  • Binclui triângulos e quadrados, mas esquece os cortes inclinados que geram trapézios e outros quadriláteros.
  • Comite os quadriláteros sem lados paralelos, que surgem em cortes inclinados gerais.
  • Desquece o pentágono, obtido quando o plano atravessa a base e as quatro faces laterais.

Assunto: Pirâmides e tronco de pirâmide.

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