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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 147 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.

Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos.

Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

  1. A
    \dfrac{10!}{2! \times 8!} - \dfrac{4!}{2! \times 2!}
  2. B
    \dfrac{10!}{8!} - \dfrac{4!}{2!}
  3. C
    \dfrac{10!}{2! \times 8!} - 2
  4. D
    \dfrac{6!}{4!} + 4 \times 4
  5. E
    \dfrac{6!}{4!} + 6 \times 4
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Resolução comentada

Como a partida é entre dois jogadores e a ordem não importa, o problema é de combinação.

Total de duplas possíveis entre os 10 tenistas:

C_{10,2}=\frac{10!}{2!\times 8!}=45

Duplas proibidas, com os dois canhotos, escolhidos entre os 4:

C_{4,2}=\frac{4!}{2!\times 2!}=6

O número de possibilidades permitidas é o total menos as proibidas:

45-6=39

Conferindo por outro caminho, contando as duplas permitidas diretamente:

  1. Dois destros: C_{6,2}=\dfrac{6!}{2!\times 4!}=15.
  2. Um destro e um canhoto: 6\times 4=24.
  3. Soma: 15+24=39.

Os dois métodos dão 39. A expressão \dfrac{10!}{2!\times 8!}-\dfrac{4!}{2!\times 2!} é exatamente 45-6.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas B, D e E usam arranjo (contando a ordem), que não vale aqui porque a dupla {A, B} é a mesma que {B, A}.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa arranjos (10!/8! e 4!/2!), que consideram a ordem, mas a dupla não tem ordem.
  • Csubtrai apenas 2, sem calcular de fato as duplas de canhotos, que são 6.
  • D6!/4! é arranjo (30) e não combinação de destros, e 4×4 não representa as duplas mistas (seriam 6×4).
  • E6!/4! é arranjo dos destros (30) e não a combinação (15); somar 6×4 com isso conta a dupla de destros duas vezes.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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