Questão 143 do ENEM 2016

Question

Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Figura A: retângulo de largura x e comprimento x + 7. Figura B: quadrilátero com ângulo reto entre dois lados de 15 m cada; a partir do vértice superior, um lado inclinado mede 21 m e encontra perpendicularmente um lado de 3 m que se liga ao lado horizontal de 15 m.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

A
7,5 e 14,5.
B
9,0 e 16,0.
C
9,3 e 16,3.
D
10,0 e 17,0.
E
13,5 e 20,5.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 143 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Equação do 2º grau

Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Figura A: retângulo de largura x e comprimento x + 7. Figura B: quadrilátero com ângulo reto entre dois lados de 15 m cada; a partir do vértice superior, um lado inclinado mede 21 m e encontra perpendicularmente um lado de 3 m que se liga ao lado horizontal de 15 m.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

A
7,5 e 14,5.
B
9,0 e 16,0.
C
9,3 e 16,3.
D
10,0 e 17,0.
E
13,5 e 20,5.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A Figura B pode ser dividida em duas partes: um triângulo retângulo de catetos 15 m e 15 m e um triângulo retângulo de catetos 21 m e 3 m (o ângulo reto fica entre o lado de 21 m e o de 3 m). Basta somar as áreas.

Triângulo de catetos 15 e 15: \frac{15\cdot 15}{2}=112{,}5\ \text{m}^2.
Triângulo de catetos 21 e 3: \frac{21\cdot 3}{2}=31{,}5\ \text{m}^2.
Área do terreno B: 112{,}5+31{,}5=144\ \text{m}^2.

O terreno do filho mais novo deve ter a mesma área. Como o retângulo tem largura x e comprimento x+7:

x(x+7)=144 \Rightarrow x^2+7x-144=0

Por Bhaskara: \Delta = 49+576=625, então \sqrt{\Delta}=25 e

x=\frac{-7+25}{2}=9

(a raiz negativa não serve). Logo, a largura é 9 m e o comprimento é 9+7=16 m. Conferindo: 9\cdot16=144. ✓

A questão pede primeiro o comprimento e depois a largura, mas as alternativas trazem o par na ordem 9,0 e 16,0; o par correto de medidas é 9 m e 16 m.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AOs valores 7,5 e 14,5 dão área 108,75 m², que não é 144 m².
C9,3 e 16,3 dão área maior que 144 m² (≈151,6 m²), portanto não servem.
D10 e 17 dão área 170 m², diferente de 144 m².
E13,5 e 20,5 dão área ≈276,75 m², muito acima de 144 m².

Assuntos: Equação do 2º grau, Áreas e perímetros de polígonos.

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