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Questão 165 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60^\circ. O raio R deve ser um número natural.

Vista superior da piscina formada por três setores circulares idênticos. As linhas tracejadas indicam raios; o ângulo central indicado é de 60° e a medida do raio está identificada por R à direita.

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50\ \text{m} \times 24\ \text{m}.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Considere 3{,}0 como aproximação para \pi.

O maior valor possível para R, em metros, deverá ser

  1. A
    16.
  2. B
    28.
  3. C
    29.
  4. D
    31.
  5. E
    49.
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Resolução comentada

Três setores de 60^\circ juntos formam 180^\circ, ou seja, meio círculo de raio R. A área da nova piscina é, portanto, metade da área de um círculo.

  1. Área da piscina retangular: 50 \cdot 24 = 1200\ \text{m}^2.

  2. Área da nova piscina: 3\cdot\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi R^2 = \dfrac{\pi R^2}{2}. Com \pi = 3, fica \dfrac{3R^2}{2}.

  3. Condição: \dfrac{3R^2}{2} < 1200, então R^2 < 800.

  4. Como R é natural, testamos os quadrados perfeitos: 28^2 = 784 < 800 e 29^2 = 841 > 800.

Logo, o maior valor natural de R é 28 m.

Conferindo: com R=28, a área é 1{,}5 \cdot 784 = 1176 < 1200. Com R=29, a área é 1{,}5\cdot 841 = 1261{,}5 > 1200, o que não serve.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor bem abaixo do limite; parece vir de tratar a área como um círculo inteiro ou de outro erro, e não é o maior R possível.
  • CCom R = 29 a área é 1261,5 m², maior que 1200 m².
  • DCom R = 31 a área é cerca de 1441,5 m², acima de 1200 m².
  • EResulta de igualar πR² a 2400 ou de erro semelhante; a área ficaria muito acima de 1200 m².

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Inequações e desigualdades.

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