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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 164 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Permutações

Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

Esquema das poltronas de um avião, com assentos ocupados marcados com X e nove assentos disponíveis em branco. Na parte dianteira, aparecem áreas identificadas pelas letras L e G.

Disponível em: www.gebh.net. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado).

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por

  1. A
    \dfrac{9!}{2!}
  2. B
    \dfrac{9!}{7!\times 2!}
  3. C
    7!
  4. D
    \dfrac{5!}{2!}\times 4!
  5. E
    \dfrac{5!}{4!}\times\dfrac{4!}{3!}
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Resolução comentada

Pela figura, há 9 poltronas livres (em branco). A família tem 7 pessoas, todas distintas, e cada uma ocupa uma poltrona diferente.

O conceito é o de arranjo: escolher e ordenar 7 poltronas entre 9, pois a ordem importa (quem senta em qual lugar muda a distribuição).

  1. A primeira pessoa tem 9 opções de poltrona.
  2. A segunda tem 8, a terceira 7, e assim por diante.
  3. A sétima pessoa tem 3 opções.

Pelo princípio multiplicativo:

9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3

Para escrever com fatorial, multiplicamos e dividimos por 2!, pois 9! = 9\times 8\times\cdots\times 3\times 2\times 1 e 2! = 2\times 1:

A_{9,7}=\frac{9!}{(9-7)!}=\frac{9!}{2!}

O 2! no denominador "corta" as 2 poltronas que sobram vazias, e o resultado não divide por 7!, porque as pessoas são distintas e a ordem conta.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece que as pessoas são distintas e trata o problema como combinação, dividindo por 7!.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BÉ a combinação C(9,7), que só escolhe as poltronas e ignora quem senta em cada uma.
  • C7! só permutaria as pessoas em 7 poltronas fixas, sem escolher quais das 9 usar.
  • DConsidera apenas 5 e 4 poltronas, como se estivessem separadas em grupos, sem base na figura.
  • ESimplifica para 5·4, valor sem relação com arranjar 7 pessoas em 9 lugares.

Assuntos: Permutações, Princípio fundamental da contagem.

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