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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 162 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H5 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

  1. A
    105 peças.
  2. B
    120 peças.
  3. C
    210 peças.
  4. D
    243 peças.
  5. E
    420 peças.
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Resolução comentada

Para cortar sem sobras, o comprimento de cada peça precisa ser um divisor de 540, de 810 e de 1 080 ao mesmo tempo, ou seja, um divisor do MDC desses números.

  1. Fatoração: 540 = 2^2\cdot 3^3\cdot 5; 810 = 2\cdot 3^4\cdot 5; 1\,080 = 2^3\cdot 3^3\cdot 5.
  2. MDC: menores expoentes de cada fator, 2\cdot 3^3\cdot 5 = 270 cm.
  3. Os comprimentos possíveis são os divisores de 270: 270, 135, 90, 54, 45, 30, ... O enunciado exige comprimento menor que 2 m (200 cm), e o maior divisor nessa condição é 135 cm.
  4. Quantidade de peças por tábua: 540 \div 135 = 4; 810 \div 135 = 6; 1\,080 \div 135 = 8.
  5. Total de peças: 40\cdot 4 + 30\cdot 6 + 10\cdot 8 = 160 + 180 + 80 = 420.

O carpinteiro produzirá 420 peças de 135 cm.

Alternativa E.

Pegadinha: O MDC é 270 cm, mas ele não serve por ser maior que 2 m; é preciso usar o maior divisor menor que 200, que é 135 cm.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com os cálculos corretos; não corresponde a nenhum comprimento de corte válido.
  • BNão resulta do corte em pedaços de 135 cm; total incorreto.
  • CSeria o resultado usando peças de 270 cm (que é maior que 2 m e não atende à condição).
  • DValor sem base nos cálculos; não corresponde ao total com peças de 135 cm.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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