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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 155 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2\ \text{km}, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

Diagrama com duas áreas circulares de cobertura, das antenas 1 e 2, tangentes no ponto O. Uma circunferência maior tracejada, centrada em O, delimita a área de cobertura da nova antena; a região entre os círculos menores e a circunferência maior está sombreada.

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em

  1. A
    8\pi.
  2. B
    12\pi.
  3. C
    16\pi.
  4. D
    32\pi.
  5. E
    64\pi.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A ampliação da área de cobertura é a diferença entre a área da nova antena e a soma das áreas das duas antigas.

Os dois círculos pequenos têm raio 2\ \text{km} e são tangentes em O. Assim, a distância de O ao centro de cada um é 2\ \text{km}.

O círculo novo tem centro em O e é tangente externamente a cada círculo pequeno (aqui, a figura mostra que os círculos pequenos ficam dentro do grande). O ponto de tangência fica no ponto mais distante de O em cada círculo pequeno, que está a 2 + 2 = 4\ \text{km} de O. Logo, o raio da nova antena é R = 4\ \text{km}.

Agora as áreas:

  1. Área de cada antena antiga: \pi \cdot 2^2 = 4\pi\ \text{km}^2. As duas somam 8\pi\ \text{km}^2.
  2. Área da nova antena: \pi \cdot 4^2 = 16\pi\ \text{km}^2.
  3. Ampliação: 16\pi - 8\pi = 8\pi\ \text{km}^2.

Essa é a região sombreada da figura.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece de descontar as áreas das duas antenas antigas e responde apenas a área da nova antena.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma combinação correta das áreas; a diferença certa é 16\pi-8\pi.
  • CÉ a área total da nova antena, sem subtrair a área das duas antigas.
  • DUsa raio 4 para o círculo grande e erra a área, dobrando 16\pi para 32\pi.
  • EToma o raio como 8 (dobrando indevidamente o diâmetro) e obtém 64\pi.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Ver como caiu na prova Questão 155 no caderno Azul do ENEM 2015

Nos cadernos: Amarelo 151Cinza 164Azul 155Rosa 162