Questão 154 do ENEM 2015

Question

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = \log (x), conforme a figura.

Gráfico da curva y = log(x), com eixos x(m) e y(m), origem 0 e interseção com o eixo x em 1. A região sombreada representa o vidro: sua borda superior acompanha a curva, a base horizontal tem comprimento n e a lateral direita tem altura h, dividida ao meio pelo eixo x.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

A
\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)-\log\left(\dfrac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}\right)
B
\log\left(1+\dfrac{n}{2}\right)-\log\left(1-\dfrac{n}{2}\right)
C
\log\left(1+\dfrac{n}{2}\right)+\log\left(1-\dfrac{n}{2}\right)
D
\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)
E
2\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 154 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = \log (x), conforme a figura.

Gráfico da curva y = log(x), com eixos x(m) e y(m), origem 0 e interseção com o eixo x em 1. A região sombreada representa o vidro: sua borda superior acompanha a curva, a base horizontal tem comprimento n e a lateral direita tem altura h, dividida ao meio pelo eixo x.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

A
\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)-\log\left(\dfrac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}\right)
B
\log\left(1+\dfrac{n}{2}\right)-\log\left(1-\dfrac{n}{2}\right)
C
\log\left(1+\dfrac{n}{2}\right)+\log\left(1-\dfrac{n}{2}\right)
D
\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)
E
2\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O vidro tem dois vértices sobre a curva: o canto superior direito, de abscissa b, e o canto inferior esquerdo, de abscissa a. A altura h é dividida ao meio pelo eixo x, então as ordenadas desses pontos são \log b = \frac{h}{2} e \log a = -\frac{h}{2}.

A base mede n, então b - a = n.
As ordenadas são opostas: \log b = -\log a = \log\left(\frac{1}{a}\right), logo b = \frac{1}{a}, ou seja, ab = 1.
Substituindo a = b - n em ab = 1: b(b-n) = 1, isto é, b^2 - nb - 1 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara: b = \dfrac{n \pm \sqrt{n^2+4}}{2}. Como b > 0, fica b = \dfrac{n + \sqrt{n^2+4}}{2}.
A altura é h = 2\log b, pois \frac{h}{2} = \log b.

h = 2\log\left(\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)

Conferindo: para n pequeno, b fica perto de 1 e h perto de 0, como esperado.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana por dar apenas \log b, que é a altura acima do eixo x, metade de h.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa a raiz negativa, que dá a<0 e logaritmo de número negativo, que não existe.
Bsupõe que os extremos têm abscissas 1+\frac{n}{2} e 1-\frac{n}{2}, o que não satisfaz ab=1 nem b-a=n sobre a curva.
Csoma logaritmos com a mesma suposição errada das abscissas, e o resultado nem representa uma altura.
Dcalcula só a metade superior, \log b = h/2, esquecendo de dobrar.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Equação do 2º grau.

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Questão 154 no caderno Azul do ENEM 2015

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