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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 150 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H18 · Matemática: Função quadrática

Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação

q = 400 - 100p,

na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.

A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.

O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo

  1. A
    R$ 0{,}50 \le p < R$ 1{,}50
  2. B
    R$ 1{,}50 \le p < R$ 2{,}50
  3. C
    R$ 2{,}50 \le p < R$ 3{,}50
  4. D
    R$ 3{,}50 \le p < R$ 4{,}50
  5. E
    R$ 4{,}50 \le p < R$ 5{,}50
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Resolução comentada

A arrecadação diária é o preço vezes a quantidade vendida: R = p\cdot q = p(400-100p) = 400p - 100p^2.

A arrecadação atual é R$ 300,00 (100 pães a R$ 3,00, o que confere com a equação: 400-100\cdot 3=100). A promoção não pode diminuir esse valor, então:

  1. 400p - 100p^2 \ge 300
  2. Dividindo por 100 e rearranjando: p^2 - 4p + 3 \le 0
  3. Raízes: p=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}, ou seja, p=1 e p=3.
  4. Como a parábola tem concavidade para cima, a expressão é \le 0 entre as raízes: 1 \le p \le 3.

A quantidade q = 400-100p diminui quando p aumenta, então ela é máxima com o menor preço permitido: p=1, que dá q=300 pães e arrecadação 1\cdot 300 = 300, sem perda.

O preço p = 1 está no intervalo 0{,}50 \le p < 1{,}50.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCorresponde a um preço intermediário, no qual a arrecadação passa de R$ 300 mas a quantidade vendida não é a maior possível.
  • CContém o preço atual (R$ 3,00), que não aumenta as vendas, e não o menor preço possível.
  • DPreço acima de R$ 3,00 faz a arrecadação cair abaixo de R$ 300, o que a promoção não permite.
  • ECom preço próximo de R$ 5,00 a arrecadação é ainda menor, e a quantidade vendida seria quase nula.

Assunto: Função quadrática.

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