Questão 149 do ENEM 2015

Question

Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.

Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

A
6
B
8
C
14
D
24
E
30

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 149 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.

Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

A
6
B
8
C
14
D
24
E
30

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Resolução comentada

Cada face do poliedro P recebe uma cor diferente, então o número de cores é igual ao número de faces de P. Vamos contá-las.

Um cubo tem 6 faces e 8 vértices.

Ao cortar um canto (vértice) com um plano, retira-se um tetraedro. Como as arestas do tetraedro são menores que a metade da aresta do cubo, os cortes de vértices vizinhos não se encontram. Assim:

As 6 faces originais do cubo continuam existindo, agora com os cantos cortados (viram octógonos).
Cada corte cria uma face nova, um triângulo. Como são 8 vértices, surgem 8 faces triangulares.

Total de faces:

6 + 8 = 14

Portanto, são usadas 14 cores.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconta só as faces do cubo original, esquecendo as faces criadas pelos cortes.
Bconta só as faces triangulares novas (uma por vértice), esquecendo as 6 faces originais.
Dmultiplica 8 vértices por 3 arestas em cada vértice, número que não corresponde a faces.
Econfunde com o número de arestas do poliedro (12 + 24 = 36) ou outra contagem sem base; não corresponde às faces.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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Questão 149 no caderno Azul do ENEM 2015

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