PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 147 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H24 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.

Quesitos 1. Fantasia e Alegoria 2. Evolução e Conjunto 3. Enredo e Harmonia 4. Bateria Total
Jurado A B A B A B A B
Escola I 6 7 8 8 9 9 8 55
Escola II 9 8 10 9 10 10 10 66
Escola III 8 8 7 8 6 7 6 50
Escola IV 9 10 10 10 9 10 10 68
Escola V 8 7 9 8 6 8 8 54

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?

  1. A
    21
  2. B
    90
  3. C
    750
  4. D
    1 250
  5. E
    3 125
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Resolução comentada

Cada escola receberá uma nota de 6 a 10 do jurado B no quesito Bateria. Como são 5 escolas e 5 notas possíveis para cada uma, há 5^5 = 3\,125 configurações no total. Precisamos contar as que fazem a Escola II ser campeã.

Totais atuais: I = 55, II = 66, III = 50, IV = 68, V = 54.

Se a Escola II receber nota x e a Escola IV receber nota y, o total de II será 66+x e o de IV será 68+y. Para II vencer a IV, é preciso 66+x > 68+y, ou seja, x - y > 2, ou então empate com desempate favorável.

Desempate: vale a soma do quesito Enredo e Harmonia. A Escola II tem 10+10=20 e a IV tem 9+10=19. Logo II vence o desempate. Então basta 66+x \ge 68+y, isto é, x \ge y+2.

Pares (x,y) com x\ge y+2, notas de 6 a 10:

  • y=6: x = 8, 9, 10 → 3 casos
  • y=7: x = 9, 10 → 2 casos
  • y=8: x = 10 → 1 caso
  • y = 9, 10: nenhum

Total: 6 pares.

Agora as outras escolas (I, III e V). O máximo delas é: I = 55+10 = 65 < 66, III = 60, V = 64. Todas ficam abaixo do mínimo de II (66+6 = 72), então não impõem restrição, e cada uma pode receber qualquer das 5 notas: 5^3 = 125.

Total: 6 \times 125 = 750.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E (3 125) é o total de configurações, sem aplicar a condição de II vencer; e esquecer que o desempate favorece a Escola II leva a contar só x\ge y+3 e errar o número de pares.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só alguns pares de notas, sem multiplicar pelas notas livres das escolas I, III e V.
  • BErro de contagem dos pares (ex.: 6×15) ou de combinação das escolas restantes.
  • DUsa 10 pares, errando a condição ao tratar o empate ou a diferença entre as notas.
  • EÉ o total 5^5, sem restringir à vitória da Escola II.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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