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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 145 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H4 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

  1. cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;

  2. todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;

  3. não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é

  1. A
    2.
  2. B
    4.
  3. C
    9.
  4. D
    40.
  5. E
    80.
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Resolução comentada

Cada escola recebe o mesmo número n de ingressos, e todos os ingressos são distribuídos sem sobra. Então n precisa dividir 400 (sessão vespertina) e também 320 (sessão noturna). Ou seja, n é um divisor comum de 400 e 320.

Para ter o menor número de escolas, cada escola deve receber o maior número possível de ingressos. Logo, n é o máximo divisor comum (MDC).

  1. Fatoração: 400 = 2^4\cdot 5^2 e 320 = 2^6\cdot 5.
  2. MDC: fatores comuns com o menor expoente, 2^4\cdot 5 = 80.
  3. Cada escola recebe 80 ingressos.
  4. Escolas na sessão vespertina: 400 \div 80 = 5.
  5. Escolas na sessão noturna: 320 \div 80 = 4.
  6. Total: 5 + 4 = 9 escolas.

Qualquer outro divisor comum menor que 80 resultaria em mais escolas.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana porque 80 é o MDC, mas ele é o número de ingressos por escola, não o número de escolas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só duas escolas, uma por sessão, mas 400 e 320 ingressos diferentes violariam o critério de números iguais.
  • BUsa apenas o número de escolas da sessão noturna (4), esquecendo as da vespertina.
  • DUsa o divisor comum 40 em vez do MDC 80, obtendo 10+8=18 escolas, ou confunde valores; não é o mínimo.
  • EConfunde o MDC (80, ingressos por escola) com o número de escolas.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Nos cadernos: Amarelo 162Cinza 153Azul 145Rosa 169