Questão 137 do ENEM 2015

Para o tampo cobrir a base triangular, o círculo precisa conter o triângulo inteiro. O menor círculo que faz isso é o circunscrito, que passa pelos três vértices. Então o raio mínimo é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero.

No triângulo equilátero, o centro do círculo circunscrito coincide com o baricentro, que fica a \frac{2}{3} da altura, medida a partir do vértice. Logo, R=\frac{2}{3}h.

1. Altura do triângulo de lado \ell = 30\ \text{cm}:

   h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}=\frac{30\cdot 1{,}7}{2}=25{,}5\ \text{cm}

2. Raio circunscrito:

   R=\frac{2}{3}\cdot 25{,}5=17\ \text{cm}

O raio mínimo é 17\ \text{cm}. Entre os tampos vendidos (18, 26, 30, 35 e 60 cm), o menor com raio maior ou igual a 17 cm é o de 18 cm.

Conferindo pela fórmula R=\frac{\ell\sqrt{3}}{3}=\frac{30\cdot1{,}7}{3}=17, o resultado é o mesmo.

Alternativa A.

Pegadinha: Quem confunde o raio circunscrito com a altura (25,5 cm) ou com o lado (30 cm) é levado às alternativas B ou C, em vez de calcular \frac{2}{3} da altura, que dá 17 cm.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BUsa um raio maior que o necessário; 26 cm cobre a base, mas não é o menor tampo suficiente.
• CToma o lado do triângulo (30 cm) como raio, sem calcular o raio da circunferência circunscrita.
• DConfunde raio com diâmetro ou usa um valor excessivo; 35 cm é maior que o necessário.
• ETampo grande demais; cobre a base, mas está longe de ser o de menor diâmetro.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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