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Questão 164 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0{,}20.

A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é

  1. A
    0{,}02048.
  2. B
    0{,}08192.
  3. C
    0{,}24000.
  4. D
    0{,}40960.
  5. E
    0{,}49152.
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Resolução comentada

O teste termina na quinta pergunta quando a segunda resposta errada aparece exatamente nela. Isso exige duas condições: entre as 4 primeiras perguntas há exatamente 1 erro, e a 5ª pergunta é errada.

Dados: probabilidade de errar = 0{,}20; probabilidade de acertar = 0{,}80.

  1. Uma resposta errada entre as 4 primeiras: o erro pode estar em qualquer uma das 4 posições, então há 4 arranjos possíveis. Cada arranjo tem probabilidade 0{,}2\cdot(0{,}8)^3.
4\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^3 = 4\cdot 0{,}2\cdot 0{,}512 = 0{,}4096
  1. A quinta resposta deve ser errada, com probabilidade 0{,}2:
0{,}4096\cdot 0{,}2 = 0{,}08192

Como as respostas são independentes, multiplicamos as probabilidades. O teste não termina antes da quinta pergunta porque, nas 4 primeiras, houve só um erro, e o limite de 10 perguntas não é alcançado.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem para no passo 1 e esquece que a 5ª resposta também precisa ser errada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aesquece de multiplicar pelas 4 posições possíveis do primeiro erro, calculando só 0{,}2^2\cdot0{,}8^3.
  • Cnão corresponde a nenhuma conta correta; valor sem base na probabilidade de eventos independentes.
  • Dcalcula só a probabilidade de exatamente 1 erro nas 4 primeiras, sem multiplicar pelo erro na 5ª.
  • Eusa 0{,}8 como probabilidade do erro na 5ª pergunta, trocando acerto por erro: 0{,}4096\cdot0{,}8 é aproximadamente 0{,}328, e o valor não fecha com a conta correta.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Combinações e binômio de Newton.

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