Questão 163 do ENEM 2014

Question

Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?

A
20 \times 8! + (3!)^2
B
8! \times 5! \times 3!
C
\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^8}
D
\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^2}
E
\frac{16!}{2^8}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 163 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Permutações

Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?

A
20 \times 8! + (3!)^2
B
8! \times 5! \times 3!
C
\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^8}
D
\frac{8! \times 5! \times 3!}{2^2}
E
\frac{16!}{2^8}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A estratégia forma 8 pares de filmes, alugados em 8 idas à locadora: as 5 primeiras com ação + comédia e as 3 últimas com ação + drama.

Como o total de filmes é 16 e cada ida usa 2, temos 8 idas. Vamos contar as formas de montar a sequência de pares.

Comédias: os 5 filmes de comédia ocupam as 5 primeiras idas. Como a ordem importa, são 5! maneiras.
Dramas: os 3 filmes de drama ocupam as 3 últimas idas, em 3! maneiras.
Ações: os 8 filmes de ação ocupam as 8 idas, uma em cada, em 8! maneiras.

Cada ida tem um filme de ação e um de outro gênero, e os dois são alugados juntos. Por isso, a ordem dentro do par não conta: escolher "ação A e comédia B" é o mesmo que "comédia B e ação A". Nossa contagem já fixou a ação e o outro filme de cada ida, sem distinguir a ordem interna do par, então não há divisão a fazer.

Pelo princípio multiplicativo:

8! \times 5! \times 3!

As alternativas com divisão por potências de 2 tratariam a ordem dentro do par como se tivesse sido contada, o que não ocorreu aqui.

Alternativa B.

Pegadinha: As alternativas C, D e E enganam quem acha que é preciso dividir por 2 em cada par por causa da ordem dentro do par, ou que basta permutar os 16 filmes.

Por que as outras alternativas estão erradas

Asoma um termo com (3!)^2 e um fator 20 sem justificativa; não usa o princípio multiplicativo.
Cdivide por 2^8 como se a ordem dentro de cada par estivesse contada, mas ela não foi.
Ddivide por 2^2 sem motivo, descontando ordens que não foram contadas.
Etrata os 16 filmes como uma fila livre, ignorando a regra de gêneros em cada aluguel.

Assunto: Permutações.

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Questão 163 no caderno Azul do ENEM 2014

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