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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 155 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Média aritmética e ponderada

Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas.

O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais.

Candidato Química Física
I 20 23
II X 25
III 21 18

A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é

  1. A
    18.
  2. B
    19.
  3. C
    22.
  4. D
    25.
  5. E
    26.
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Resolução comentada

A média ponderada multiplica cada nota pelo seu peso, soma os resultados e divide pela soma dos pesos. Aqui os pesos são 4 (química) e 6 (física), e a soma deles é 10.

Calculando as médias dos candidatos que já têm as duas notas:

  1. Candidato I: \dfrac{4\cdot 20 + 6\cdot 23}{10} = \dfrac{80+138}{10} = 21{,}8
  2. Candidato III: \dfrac{4\cdot 21 + 6\cdot 18}{10} = \dfrac{84+108}{10} = 19{,}2
  3. Candidato II: \dfrac{4X + 6\cdot 25}{10} = \dfrac{4X+150}{10}

Para vencer, a média do candidato II precisa ser maior que a maior das outras, que é 21{,}8:

\dfrac{4X+150}{10} > 21{,}8 \Rightarrow 4X + 150 > 218 \Rightarrow 4X > 68 \Rightarrow X > 17

Como as notas são inteiras, o menor valor possível é X = 18.

Conferindo: com X=18, a média é \dfrac{72+150}{10} = 22{,}2 > 21{,}8. Com X=17, seria \dfrac{68+150}{10} = 21{,}8, empatando com o candidato I, e não vencendo.

Alternativa A.

Pegadinha: Com X = 17 a média do candidato II empata com a do candidato I (21,8), então 17 não serve; é preciso superar, não igualar, por isso o mínimo é 18.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BChega a 19 sem motivo; 18 já basta para superar a média 21,8.
  • CUsa a nota 22 do candidato II na média (22,2) como se fosse a nota de química exigida.
  • DIguala X à nota de física (25), sem relação com a condição da média.
  • EValor sem base no cálculo; muito acima do mínimo necessário.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Inequações e desigualdades.

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