Questão 146 do ENEM 2014

Question

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

A
x \cdot y \cdot z
B
(x + 1) \cdot (y + 1)
C
x \cdot y \cdot z - 1
D
(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot z
E
(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (z + 1) - 1

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 146 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

A
x \cdot y \cdot z
B
(x + 1) \cdot (y + 1)
C
x \cdot y \cdot z - 1
D
(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot z
E
(x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (z + 1) - 1

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

O número de divisores positivos de N = 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z é o produto dos expoentes somados de 1: (x+1)(y+1)(z+1). Isso vale porque cada divisor escolhe um expoente do 2 (de 0 a x, ou seja, x+1 opções), um do 5 (y+1 opções) e um do 7 (z+1 opções).

Agora usamos as condições do enunciado:

N não é múltiplo de 7, então o fator 7 não aparece: z = 0.
Com z=0, o fator z+1 vale 1, e o total de divisores fica (x+1)(y+1)\cdot 1 = (x+1)(y+1).
(N ser múltiplo de 10 só garante x \geq 1 e y \geq 1; não altera a fórmula.)
O enunciado pede os divisores diferentes de N, então tiramos o próprio N, que é um dos divisores: (x+1)(y+1) - 1.

Como z=0, podemos escrever (x+1)(y+1)(z+1) - 1, pois z+1 = 1. Esse é o resultado da alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana por ser o número de divisores com z=0, mas inclui o próprio N, que o enunciado manda excluir.

Por que as outras alternativas estão erradas

Amultiplica os expoentes, sem somar 1, e com z=0 daria zero.
Besquece de descontar o próprio N da contagem de divisores.
Cusa x\cdot y\cdot z - 1, que dá -1 com z=0; a contagem correta soma 1 a cada expoente.
Dusa z em vez de z+1, o que zeraria o resultado com z=0, e não desconta N.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 146 no caderno Azul do ENEM 2014

Nos cadernos: Amarelo 165Cinza 163Azul 146Rosa 150