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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 145 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H23 · Matemática: Função quadrática

Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:

  • A nota zero permanece zero.
  • A nota 10 permanece 10.
  • A nota 5 passa a ser 6.

A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é

  1. A
    y = -\dfrac{1}{25} x^2 + \dfrac{7}{5} x
  2. B
    y = -\dfrac{1}{10} x^2 + 2x
  3. C
    y = \dfrac{1}{24} x^2 + \dfrac{7}{12} x
  4. D
    y = \dfrac{4}{5} x + 2
  5. E
    y = x
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Resolução comentada

Como f tem grau menor que 3, ela é da forma f(x)=ax^2+bx+c. Vamos usar as três condições para achar a, b e c.

  1. f(0)=0: substituindo, c=0. Logo f(x)=ax^2+bx.
  2. f(10)=10: 100a+10b=10, ou seja, 10a+b=1.
  3. f(5)=6: 25a+5b=6.

Da equação 2, b=1-10a. Substituindo na equação 3:

25a+5(1-10a)=6 \Rightarrow 25a+5-50a=6 \Rightarrow -25a=1 \Rightarrow a=-\frac{1}{25}

Então:

b=1-10\cdot\left(-\frac{1}{25}\right)=1+\frac{10}{25}=1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}

A função é y=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{7}{5}x.

Conferindo: f(5)=-\frac{25}{25}+\frac{35}{5}=-1+7=6 ✓ e f(10)=-\frac{100}{25}+14=-4+14=10 ✓.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BDá f(10)=-10+20=10, mas f(5)=-2{,}5+10=7{,}5, e não 6.
  • CDá f(10)=\frac{100}{24}+\frac{70}{12}\neq 10, então a nota 10 não se mantém.
  • DDá f(0)=2, e a nota zero deveria permanecer zero.
  • EÉ a identidade: f(5)=5, e não 6.

Assunto: Função quadrática.

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