Questão 179 do ENEM 2013

Question

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Esquema com os postes verticais AC e BD, de alturas 4 e 6, apoiados nas extremidades A e B de um segmento horizontal. Os segmentos AD e BC se cruzam em E; a haste vertical EF liga E ao ponto F do segmento AB.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

A
1 m
B
2 m
C
2,4 m
D
3 m
E
2\sqrt{6} m

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 179 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Esquema com os postes verticais AC e BD, de alturas 4 e 6, apoiados nas extremidades A e B de um segmento horizontal. Os segmentos AD e BC se cruzam em E; a haste vertical EF liga E ao ponto F do segmento AB.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

A
1 m
B
2 m
C
2,4 m
D
3 m
E
2\sqrt{6} m

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Na figura, AC = 4 m e BD = 6 m, e os cabos AD e BC se cruzam em E. A haste EF é perpendicular a AB. Como AC, EF e BD são paralelas (todas perpendiculares ao solo), aparecem triângulos semelhantes.

Seja AF = x, FB = y e EF = h.

Os triângulos AFE e ABD são semelhantes (ângulo em A comum e ângulos retos em F e B):

\frac{h}{6}=\frac{x}{x+y}

Os triângulos BFE e BAC também são semelhantes (ângulo em B comum e ângulos retos em F e A):

\frac{h}{4}=\frac{y}{x+y}

Somando as duas razões, \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=1, então:

\frac{h}{6}+\frac{h}{4}=1

Com denominador comum 12:

\frac{2h+3h}{12}=1 \Rightarrow 5h=12 \Rightarrow h=\frac{12}{5}=2{,}4\ \text{m}

O resultado também é a fórmula do "produto sobre soma": \frac{4\cdot 6}{4+6}=2{,}4.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem justificativa; não satisfaz \frac{h}{6}+\frac{h}{4}=1.
BConfunde com a média harmônica ou aproxima sem resolver a semelhança; \frac{2}{6}+\frac{2}{4}\neq 1.
DDivide 6 por 2, ignorando que a altura depende dos dois postes; a média aritmética seria 5, não 3.
EUsa média geométrica \sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}, que não corresponde a essa configuração.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 179 no caderno Azul do ENEM 2013

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