PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 175 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

Plano cartesiano com eixos x (km), de 10 a 90, e y (km), de 10 a 70, marcados de 10 em 10, e grade tracejada. As antenas estão nos pontos A (30, 20), B (70, 20) e C (60, 50).

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

  1. A
    (65\ ;\ 35).
  2. B
    (53\ ;\ 30).
  3. C
    (45\ ;\ 35).
  4. D
    (50\ ;\ 20).
  5. E
    (50\ ;\ 30).
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Resolução comentada

O ponto equidistante de três pontos é o circuncentro do triângulo ABC, que fica na interseção das mediatrizes dos lados.

  1. Os pontos A(30,20) e B(70,20) têm a mesma ordenada. A mediatriz de AB é a reta vertical que passa pelo ponto médio: x=\frac{30+70}{2}=50.

  2. Assim, o ponto procurado é P(50,\,y). Impondo PA = PC (usando os quadrados das distâncias):

(50-30)^2+(y-20)^2=(50-60)^2+(y-50)^2
  1. Desenvolvendo:
400+y^2-40y+400=100+y^2-100y+2500
  1. Cortando y^2:
800-40y=2600-100y \Rightarrow 60y=1800 \Rightarrow y=30
  1. Conferência: PA^2=20^2+10^2=500, PB^2=20^2+10^2=500 e PC^2=10^2+20^2=500. As três distâncias são iguais.

Logo, a torre deve ficar em (50\,;\,30).

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão está na mediatriz de AB (x=50); as distâncias às antenas são diferentes.
  • BTem y=30 correto, mas x=53 não é equidistante de A e B.
  • CTem x=45, fora da mediatriz de AB, então fica mais perto de A que de B.
  • DEstá na mediatriz de AB, mas PA=20 e PC=\sqrt{100+900}\approx 31{,}6, diferentes.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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