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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 174 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H11 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

Mapa do Brasil na escala 1 : 25 000 000 com o contorno dos estados e uma caixa de ampliação sobre o estado do Rio de Janeiro apontando para um mapa detalhado do estado com seus municípios na escala 1 : 4 000 000.

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil.

Esse número é

  1. A
    menor que 10.
  2. B
    maior que 10 e menor que 20.
  3. C
    maior que 20 e menor que 30.
  4. D
    maior que 30 e menor que 40.
  5. E
    maior que 40.
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Resolução comentada

Escala 1 : 25\,000\,000 significa que cada 1 cm no mapa representa 25\,000\,000 cm na realidade. Na escala 1 : 4\,000\,000, 1 cm representa 4\,000\,000 cm.

Como o mesmo estado aparece nos dois mapas, comparamos os comprimentos:

  1. Ampliação linear: \dfrac{25\,000\,000}{4\,000\,000} = 6{,}25. Ou seja, qualquer comprimento ficou 6{,}25 vezes maior.

  2. A área depende de duas dimensões (comprimento × largura), então a ampliação da área é o quadrado da ampliação linear:

6{,}25^2 = 39{,}0625
  1. Esse valor está entre 30 e 40.

O erro mais comum é parar no fator linear 6{,}25 e concluir que a área foi ampliada menos de 10 vezes. Mas a pergunta é sobre área, e a razão entre áreas semelhantes é o quadrado da razão entre os comprimentos.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem calcula só a razão das escalas (6{,}25) e esquece que a ampliação da área é o quadrado dela.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa apenas a razão linear 6{,}25, esquecendo de elevar ao quadrado para a área.
  • Bnão corresponde a nenhum cálculo correto; resultado de erro de conta com as escalas.
  • Cvalor intermediário sem base; a área ampliada é 6{,}25^2\approx 39, não entre 20 e 30.
  • Epassa de 40, o que exigiria uma razão linear maior que \sqrt{40}\approx 6{,}3; a real é 6{,}25.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Escala.

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