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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 164 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

Quadrado dividido horizontalmente ao meio: metade inferior branca; metade superior dividida por uma diagonal do canto superior esquerdo ao ponto médio da lateral direita, com região inferior preta e superior cinza. O ponto O está no canto inferior direito.

Figura original

A imagem que representa a nova figura é:

  1. A
    Dois quadrados lado a lado. No da esquerda, a parte superior tem uma região cinza acima de uma diagonal descendente e uma região preta abaixo dela; a parte inferior é branca. No da direita, há uma faixa branca à esquerda e, à direita, uma região preta acima de uma diagonal inclinada e uma cinza abaixo dela. O ponto O está na base, próximo à divisão entre os quadrados.
  2. B
    Dois quadrados lado a lado, com o ponto O na base da divisão central. No quadrado esquerdo, a metade inferior é branca e a superior tem uma diagonal descendente que separa cinza acima e preto abaixo. No direito, a metade superior é branca e a inferior tem uma diagonal descendente que separa preto acima e cinza abaixo.
  3. C
    Dois quadrados lado a lado, com o ponto O na base da divisão central. As metades inferiores são brancas. Na metade superior esquerda, uma diagonal descendente separa cinza acima e preto abaixo; na direita, uma diagonal ascendente separa cinza acima e preto abaixo.
  4. D
    Dois quadrados posicionados diagonalmente, um acima e à esquerda do ponto O e outro abaixo e à direita. No quadrado superior esquerdo, a metade inferior é branca e a superior tem cinza acima de uma diagonal descendente e preto abaixo. No quadrado inferior direito, a metade superior é branca e a inferior tem preto acima de uma diagonal ascendente e cinza abaixo.
  5. E
    Dois quadrados posicionados diagonalmente, um acima e à esquerda do ponto O e outro abaixo e à direita. No quadrado superior esquerdo, a metade inferior é branca e a superior tem cinza acima de uma diagonal descendente e preto abaixo. No quadrado inferior direito, a metade superior é branca e a inferior tem preto acima de uma diagonal descendente e cinza abaixo.
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Resolução comentada

Simetria em relação a um ponto O (reflexão pontual) equivale a uma rotação de 180^\circ em torno de O. Cada ponto da figura vai para o lado oposto de O, à mesma distância. A nova figura é a original mais essa imagem girada.

A figura original é um quadrado com O no canto inferior direito. Em cima há a faixa com uma diagonal que vai do canto superior esquerdo até o meio do lado direito. Acima da diagonal fica o cinza e abaixo dela o preto. Embaixo a metade é branca.

Aplicando a rotação de 180^\circ:

  1. O quadrado vai para o lado oposto de O: fica abaixo e à direita, com o canto superior esquerdo tocando O.
  2. A metade branca, que estava embaixo, passa para cima. Logo, no novo quadrado a parte branca é a superior.
  3. A faixa colorida passa para baixo. A diagonal, que ia do canto superior esquerdo ao meio da lateral direita, agora vai do canto inferior direito ao meio da lateral esquerda. Ela continua descendo da esquerda para a direita, ou seja, é uma diagonal descendente e não ascendente.
  4. As cores também giram: o cinza, que estava acima da diagonal, passa a ficar abaixo dela, e o preto passa a ficar acima.

Assim, o quadrado inferior direito tem a metade superior branca e, na inferior, preto acima de uma diagonal descendente e cinza abaixo. O quadrado original permanece acima e à esquerda de O. Essa descrição corresponde à alternativa E; na D a diagonal está ascendente, o que seria uma reflexão em um eixo, não em um ponto.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana por ter a posição e as cores certas, mas com a diagonal inclinada ao contrário; a rotação de 180^\circ preserva a inclinação da diagonal.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColoca o segundo quadrado ao lado, sem girar em torno de O, e a disposição das partes não corresponde à rotação de 180^\circ.
  • BOs quadrados ficam lado a lado, e não em posições opostas em relação a O, que está no canto.
  • CÉ uma reflexão em relação a um eixo vertical, com a parte branca continuando embaixo.
  • DA diagonal do quadrado girado está ascendente, o que é reflexão em eixo; na rotação de 180^\circ a inclinação se mantém descendente.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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