PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 154 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é representada pela expressão:

F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}

onde m_1 e m_2 correspondem às massas dos corpos, d à distância entre eles, G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o outro.

O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra.

Esquema com órbitas circulares concêntricas tracejadas em torno da Terra e cinco satélites pontuais identificados por letras: E na órbita mais interna, seguido por D, C, B e A na órbita mais externa.

Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?

  1. A
    Gráfico cartesiano com eixo vertical (Força) e horizontal (Tempo), contendo cinco retas horizontais constantes rotuladas de cima para baixo como A, B, C, D e E.
  2. B
    Gráfico cartesiano com eixo vertical (Força) e horizontal (Tempo), contendo cinco retas horizontais constantes rotuladas de cima para baixo como E, D, C, B e A.
  3. C
    Gráfico cartesiano de Força em função do Tempo, contendo cinco curvas côncavas para baixo partindo da origem, rotuladas de cima para baixo como A, B, C, D e E.
  4. D
    Gráfico cartesiano de Força em função do Tempo, contendo cinco retas crescentes partindo da origem, com inclinações decrescentes rotuladas de cima para baixo como A, B, C, D e E.
  5. E
    Gráfico cartesiano de Força em função do Tempo, contendo cinco retas crescentes partindo da origem, com inclinações decrescentes rotuladas de cima para baixo como E, D, C, B e A.
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Resolução comentada

Na expressão F = G\frac{m_1 m_2}{d^2}, a força depende de G, das massas e da distância d entre os corpos. Nenhuma dessas grandezas depende do tempo, então cada satélite sofre uma força de intensidade constante. O gráfico de F em função de t é, portanto, uma reta horizontal para cada satélite. Isso elimina as alternativas C, D e E, que mostram curvas ou retas crescentes.

Falta saber a ordem das retas. Os satélites têm a mesma massa, e a Terra é a mesma para todos. Assim, G, m_1 e m_2 são iguais, e F é inversamente proporcional a d^2:

F \propto \frac{1}{d^2}

Quanto menor a distância à Terra, maior a força. No esquema, E é o satélite da órbita mais interna e A, o da mais externa. A ordem dos raios é:

d_E < d_D < d_C < d_B < d_A

A ordem das forças é a inversa:

F_E > F_D > F_C > F_B > F_A

O gráfico deve ter retas horizontais com E no topo e A na base, de cima para baixo: E, D, C, B, A. É o que mostra a alternativa B.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E acerta a ordem das forças, mas engana quem esquece que a força é constante no tempo; a A erra a ordem por esquecer que a força cai com d^2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem retas horizontais, mas com a ordem invertida: coloca A, a órbita mais distante, com a maior força, contrariando a proporção inversa a d^2.
  • CMostra curvas crescentes, mas a força não depende do tempo, pois d é constante em órbita circular.
  • DMostra retas crescentes, como se a força aumentasse com o tempo, e ainda com a ordem trocada.
  • EMostra retas crescentes com o tempo, o que é incorreto, embora a ordem E, D, C, B, A esteja certa.

Assuntos: Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Leitura e interpretação de gráficos.

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