Questão 153 do ENEM 2013

Question

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

A
S = k \cdot M
B
S = k \cdot M^{\frac{1}{3}}
C
S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{1}{3}}
D
S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}}
E
S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 153 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

A
S = k \cdot M
B
S = k \cdot M^{\frac{1}{3}}
C
S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{1}{3}}
D
S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}}
E
S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Dizer que uma grandeza é proporcional a outra significa que a razão entre elas é constante, ou seja, uma é igual à outra multiplicada por uma constante k.

O enunciado diz que o cubo da área S é proporcional ao quadrado da massa M. Traduzindo:

S^3 = k \cdot M^2, com k > 0.

Para isolar S, extraímos a raiz cúbica dos dois lados, o que equivale a elevar a \frac{1}{3}:

S = (k \cdot M^2)^{\frac{1}{3}}

A potência de um produto é o produto das potências:

S = k^{\frac{1}{3}} \cdot (M^2)^{\frac{1}{3}}

E a potência de uma potência multiplica os expoentes: 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}}

Essa expressão aparece na alternativa D. Confira com um teste: elevando ao cubo, S^3 = k \cdot M^{2}, exatamente a relação dada.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe proporção direta entre S e M, ignorando o cubo e o quadrado.
BAplica a raiz cúbica só em M e esquece de elevar M ao quadrado, além de não extrair a raiz de k.
CExtrai a raiz cúbica de k e de M, mas perde o quadrado da massa (deveria ser M^{2/3}).
EMantém o expoente 2 de M sem aplicar a raiz cúbica a ele.

Assuntos: Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Potenciação e radiciação.

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Questão 153 no caderno Azul do ENEM 2013

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