Questão 141 do ENEM 2013

Question

Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Seção transversal de três canos circulares iguais, tangentes entre si, dentro de um cano circular maior. Um segmento indica o raio de 30 cm de um cano menor; outro, o raio R do cano maior. Espaçadores de metal mantêm uma distância indicada de 10 cm entre os canos menores e o maior.

Utilize 1,7 como aproximação para \sqrt{3}.

O valor de R, em centímetros, é igual a

A
64,0.
B
65,5.
C
74,0.
D
81,0.
E
91,0.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 141 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Seção transversal de três canos circulares iguais, tangentes entre si, dentro de um cano circular maior. Um segmento indica o raio de 30 cm de um cano menor; outro, o raio R do cano maior. Espaçadores de metal mantêm uma distância indicada de 10 cm entre os canos menores e o maior.

Utilize 1,7 como aproximação para \sqrt{3}.

O valor de R, em centímetros, é igual a

A
64,0.
B
65,5.
C
74,0.
D
81,0.
E
91,0.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os centros dos três canos pequenos, que são tangentes entre si, formam um triângulo equilátero de lado 2 \cdot 30 = 60 cm.

O centro do cano grande coincide com o centro (baricentro) desse triângulo. A distância do baricentro a cada vértice é o raio da circunferência circunscrita:

d = \frac{\ell\sqrt{3}}{3} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}

Com \sqrt{3} \approx 1{,}7:

d = 20 \cdot 1{,}7 = 34\ \text{cm}

Do centro do cano grande até a parede do cano grande, passando pelo centro de um cano pequeno, temos três trechos:

do centro do cano grande ao centro do cano pequeno: 34 cm;
do centro do cano pequeno até a sua borda externa: 30 cm (raio);
da borda do cano pequeno até o cano grande: 10 cm (espaçador).

Assim:

R = 34 + 30 + 10 = 74\ \text{cm}

O raio do cano grande é 74 cm.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas D e E enganam quem usa a altura do triângulo (30√3 ≈ 51) no lugar da distância do centro ao vértice (20√3 = 34).

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece um dos trechos, somando apenas 34 + 30 (= 64), sem os 10 cm do espaçador.
BUsa a altura do triângulo (30√3 ≈ 51) em vez da distância ao baricentro, e monta a soma de forma incorreta.
DUsa a altura do triângulo equilátero (51) como distância ao centro: 51 + 30 = 81, ignorando o espaçador.
ESoma a altura do triângulo com o raio e o espaçador: 51 + 30 + 10 = 91.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 141 no caderno Azul do ENEM 2013

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