Questão 138 do ENEM 2013

Question

Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

A
\dfrac{62^6}{10^6}
B
\dfrac{62!}{10!}
C
\dfrac{62!\text{ }4!}{10!\text{ }56!}
D
62! - 10!
E
62^6 - 10^6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 138 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

A
\dfrac{62^6}{10^6}
B
\dfrac{62!}{10!}
C
\dfrac{62!\text{ }4!}{10!\text{ }56!}
D
62! - 10!
E
62^6 - 10^6

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O coeficiente de melhora é a razão entre o número de senhas do sistema novo e o do sistema antigo. Então basta contar as senhas de cada sistema com o princípio multiplicativo: cada posição da senha é escolhida de forma independente, e o total é o produto das escolhas de cada posição.

Sistema antigo: cada um dos 6 dígitos pode ser qualquer algarismo de 0 a 9, ou seja, 10 opções por posição. Total: 10^6.
Sistema novo: cada posição pode ser um algarismo (10 opções), uma letra minúscula (26) ou uma letra maiúscula (26), pois maiúscula e minúscula são distintas. São 10+26+26=62 opções por posição. Total: 62^6.
Como os caracteres podem se repetir, não se usa fatorial nem arranjo. Cada posição tem sempre o mesmo número de opções.
Coeficiente de melhora:

\frac{\text{novo}}{\text{antigo}}=\frac{62^6}{10^6}

A razão pede divisão, e não subtração.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem confunde "melhora" com o ganho absoluto (diferença) em vez da razão pedida no enunciado.

Por que as outras alternativas estão erradas

Busa fatoriais, como se a senha não permitisse repetição e envolvesse todos os 62 símbolos.
Cexpressão de combinação/arranjo sem sentido aqui, pois a ordem importa e há repetição.
Dsubtrai fatoriais, além de não ser razão.
Ecalcula a diferença entre os números de senhas, mas o coeficiente é a razão.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 138 no caderno Azul do ENEM 2013

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