PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 165 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H6 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

Pirâmide de base quadrangular ABCD com vértice superior E e um ponto M localizado na aresta BC

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C.

O desenho que Bruno deve fazer é

  1. A
    Base quadrada ABCD com traçado contínuo que vai de A até o meio de AB, sobe verticalmente até o centro, segue horizontalmente até a aresta BC e sobe até C
  2. B
    Base quadrada ABCD com traçado contínuo ligando o vértice A em linha reta diretamente a um ponto na aresta BC, e deste subindo pela aresta até C
  3. C
    Base quadrada ABCD com traçado contínuo que vai de A diagonalmente até o centro da base, segue horizontalmente até a aresta BC e sobe pela aresta até C
  4. D
    Base quadrada ABCD com traçado contínuo ligando diretamente o vértice A ao vértice C por uma reta diagonal
  5. E
    Base quadrada ABCD com traçado contínuo que vai de A diagonalmente até o centro, sobe verticalmente até a aresta DC e segue por ela até C
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Resolução comentada

A projeção de um ponto no plano da base é o "pé" da perpendicular traçada desse ponto até o plano. Projetar um deslocamento é projetar cada trecho dele.

A pirâmide é de base quadrada, e o desenho mostra um vértice E sobre o centro da base (pirâmide reta). Vamos projetar os pontos:

  1. A, M e C já estão no plano da base, então coincidem com suas próprias projeções.
  2. E é o vértice superior. Sua projeção é o centro O do quadrado, o encontro das diagonais.

Agora, trecho a trecho:

  • A \to E projeta-se em A \to O: segmento ao longo da diagonal AC, até o centro.
  • E \to M projeta-se em O \to M: do centro até M, que está na aresta BC. Como M está na metade entre B e C (no desenho, mais próximo de C), o segmento OM é horizontal, pois O está na altura do ponto médio de BC.
  • M \to C já está na base e percorre a aresta BC até C.

O desenho final: de A em diagonal até o centro, depois segmento horizontal até a aresta BC e, por fim, subida por essa aresta até C. É exatamente o que mostra a alternativa C.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATrata o trecho A–E como se subisse pela aresta AB; mas E se projeta no centro e o caminho A→centro é diagonal, não em degraus.
  • BLiga A direto a M, ignorando que o ponto E passa pelo centro da base na projeção.
  • DLiga A a C direto pela diagonal, esquecendo o desvio até M na aresta BC.
  • ELeva o segmento do centro até a aresta DC, mas M está na aresta BC, não em DC.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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