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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 160 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Quadrado com pontos médios A, B, C e D nos lados, contendo regiões sombreadas e claras; segmentos tracejados AP e QC unem os pontos médios laterais aos vértices de um losango interno sombreado BPDQ.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o \text{m}^2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o \text{m}^2.

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

  1. A
    R$ 22,50
  2. B
    R$ 35,00
  3. C
    R$ 40,00
  4. D
    R$ 42,50
  5. E
    R$ 45,00
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Resolução comentada

O quadrado tem lado 1 m, então sua área é 1\ \text{m}^2. Os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados, e o quadrilátero ABCD tem diagonais AC = BD = 1 m.

A parte clara é formada por duas regiões: ABPDA (o quadrilátero côncavo entre A, B, P, D) e BCDQB. Vamos calcular a área da região ABPDA.

  1. A área do triângulo ABD é \dfrac{BD \cdot (\text{distância de A a BD})}{2} = \dfrac{1 \cdot \frac12}{2} = \dfrac14\ \text{m}^2.
  2. O ponto P está sobre AC, a \frac14 m de A, e está dentro do triângulo ABD. O triângulo PBD tem base BD = 1 e altura \frac12 - \frac14 = \frac14 m, logo sua área é \dfrac{1 \cdot \frac14}{2} = \dfrac18\ \text{m}^2.
  3. A região clara ABPDA é o triângulo ABD menos o triângulo PBD: \dfrac14 - \dfrac18 = \dfrac18\ \text{m}^2.

Por simetria, BCDQB também mede \frac18 m². A área clara total é \frac14 m² e a sombreada é 1 - \frac14 = \frac34 m².

Custo:

0{,}25 \cdot 50 + 0{,}75 \cdot 30 = 12{,}50 + 22{,}50 = 35{,}00

O custo é R$ 35,00.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só a parte sombreada (0,75 × 30), esquecendo o custo da parte clara.
  • CVem de áreas erradas para as regiões, como tratar a parte clara como 1/3 do total, e não 1/4.
  • DTroca as áreas, usando 0,75 m² para a parte clara e 0,25 m² para a sombreada, ou outro erro de proporção.
  • EUsa a área do losango ABCD (0,5 m²) como parte clara, sem descontar o losango BPDQ.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Nos cadernos: Amarelo 149Cinza 152Azul 160Rosa 139