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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 159 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600\ \text{g/h} (gramas por hora) de gás propano e cobre 35\ \text{m}^2 de área, ou modelo B, que consome 750\ \text{g/h} de gás propano e cobre 45\ \text{m}^2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).

Planta de quatro ambientes, cada um com um círculo: I é um retângulo inferior esquerdo de 5 m de largura e 8 m de altura; II e III são retângulos acima dele, com largura conjunta de 9 m; IV é um trapézio à direita de III, com base inferior de 7 m e lado direito de 4 m. A altura total à esquerda, abrangendo I e II, é de 14 m.

Avaliando-se todas as informações, serão necessários

  1. A
    quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
  2. B
    três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
  3. C
    duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
  4. D
    uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
  5. E
    nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada ambiente recebe um aquecedor, e a área do ambiente deve ser menor que a cobertura do aparelho. Vamos calcular as áreas.

  1. Altura total à esquerda: 14 m. O ambiente I tem 8 m de altura, então II e III têm 14-8=6 m de altura.
  2. Ambiente I: largura 5 m, altura 8 m, logo A_I=5\cdot 8=40\ \text{m}^2.
  3. Ambiente II: largura 5 m (mesma de I), altura 6 m, logo A_{II}=5\cdot 6=30\ \text{m}^2.
  4. Ambiente III: largura 9-5=4 m, altura 6 m, logo A_{III}=4\cdot 6=24\ \text{m}^2.
  5. Ambiente IV: trapézio com bases 6 m (lado esquerdo, igual à altura de III) e 4 m (lado direito), altura 7 m: A_{IV}=\dfrac{(6+4)\cdot 7}{2}=35\ \text{m}^2.

Agora escolhemos o aquecedor de cada ambiente:

  • I (40 m²): A cobre 35, não serve (40 > 35); precisa do B (45).
  • II (30 m²): A serve (30 < 35).
  • III (24 m²): A serve.
  • IV (35 m²): A cobre exatamente 35, e a área deve ser menor que a cobertura, então A não serve; precisa do B.

Além disso, o consumo de A (600 g/h) é menor que o de B (750 g/h), então usamos A sempre que possível.

Resultado: 2 unidades de A (II e III) e 2 de B (I e IV).

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: o trapézio IV tem exatamente 35 m², e o aquecedor A só serve para áreas menores que 35 m², então IV precisa do B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que I (40 m²) excede a cobertura de A (35 m²) e que IV exige área menor que 35.
  • BAceita A no trapézio IV, com 35 m², mas a área precisa ser estritamente menor que a cobertura.
  • DUsa B onde A basta, aumentando o gasto de gás sem necessidade.
  • EUsa B em todos os ambientes, gastando mais gás que o mínimo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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