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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 144 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H4 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

  1. A
    10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  2. B
    20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  3. C
    119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  4. D
    260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  5. E
    270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
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Resolução comentada

Cada resposta é formada por três escolhas independentes: um objeto, um personagem e um cômodo. Pelo princípio multiplicativo, o total de respostas distintas é o produto das possibilidades de cada escolha.

  1. Objetos: 5 possibilidades.
  2. Personagens: 6 possibilidades.
  3. Cômodos: 9 possibilidades.
5 \cdot 6 \cdot 9 = 270

Existem, portanto, 270 respostas possíveis. Como as respostas dadas devem ser sempre distintas e cada aluno responde no máximo uma vez, o diretor tem certeza de que a resposta certa aparecerá se o número de alunos for maior que o número de respostas possíveis. Assim, mesmo que os primeiros 270 alunos errassem, esgotando todas as respostas erradas, ainda sobrariam alunos, e a resposta correta teria de aparecer.

Como há 280 alunos:

280 - 270 = 10

Há 10 alunos a mais do que respostas distintas. Com 270 respostas, na verdade, só seriam necessários 270 alunos para garantir o acerto, e os 10 extras dão a margem de segurança.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas D e E enganam quem soma as opções (5+6+9=20) ou confunde 270 (total de respostas) com a diferença entre alunos e respostas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCalcula o total de respostas como 260, sem base no princípio multiplicativo, obtendo diferença de 20.
  • CSoma em vez de multiplicar (5+6+9=20) e encontra 280−20=260, errando ainda a comparação; o valor 119 não corresponde ao problema.
  • DCompara 280 com 20 (soma 5+6+9), obtendo 260 de diferença, em vez de multiplicar.
  • EConfunde o total de respostas (270) com a diferença; 270 é o número de respostas, não o excedente de alunos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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