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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 165 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.

Esquema de uma pista de atletismo com duas retas paralelas de comprimento 84,39 m interligadas por duas curvas semicirculares de raio interno medindo 36,5 m. Uma faixa externa contorna todo o traçado da pista.

BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensino-aprendizagem de Matemática em cursos de 1o e 2o graus. 1990. Dissertação de Mestrado. IGCE/UNESP, Rio Claro,1990 (adaptado).

Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado?

  1. A
    1
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. D
    7
  5. E
    8
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Resolução comentada

Cada raia tem duas retas iguais de 84{,}39\ \text{m} e duas semicircunferências que juntas formam uma circunferência completa. O comprimento de uma volta na raia de raio r é:

C = 2\cdot 84{,}39 + 2\pi r

A parte reta é a mesma para todas as raias. O que muda é o raio da curva: quanto mais externa a raia, maior o raio e maior a distância percorrida.

A largura total é 9{,}76\ \text{m} para 8 raias, então cada raia mede 9{,}76/8 = 1{,}22\ \text{m}. O raio da raia n é aproximadamente 36{,}5 + 1{,}22\,(n-1), medindo até o eixo da raia (o acréscimo de meia raia é igual para todas e não altera a comparação).

Como todos os atletas partem do mesmo ponto e dão uma volta completa, quem corre na raia 1, de menor raio, percorre a menor distância, e quem corre na raia 8 percorre a maior. Por exemplo:

  1. Raia 1: 2\pi(36{,}5)\approx 229{,}3\ \text{m} nas curvas.
  2. Raia 8: r = 36{,}5 + 7\cdot 1{,}22 = 45{,}04, logo 2\pi(45{,}04)\approx 283{,}0\ \text{m} nas curvas.

A diferença é de cerca de 53{,}7\ \text{m} a favor da raia 1. Assim, o corredor da raia mais interna é o beneficiado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BA raia 4 tem raio maior que a 1, logo percorre distância maior.
  • CA raia 5 tem raio maior que a 1, logo percorre distância maior.
  • DA raia 7 tem raio grande e percorre distância bem maior que a 1.
  • EA raia 8 é a mais externa, com a maior distância, portanto a mais prejudicada.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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