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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 159 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H23 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.

Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?

  1. A
    100n + 350 = 120n + 150
  2. B
    100n + 150 = 120n + 350
  3. C
    100(n + 350) = 120(n + 150)
  4. D
    100(n + 350\,000) = 120(n + 150\,000)
  5. E
    350(n + 100\,000) = 150(n + 120\,000)
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Resolução comentada

Cada proposta é uma função afim do número de quilômetros n: um valor por km multiplicado por n, mais um valor fixo.

Custo da primeira empresa (em reais): C_1 = 100\,000n + 350\,000.

Custo da segunda empresa (em reais): C_2 = 120\,000n + 150\,000.

A prefeitura fica indiferente quando os dois custos são iguais, isto é, C_1 = C_2:

100\,000n + 350\,000 = 120\,000n + 150\,000

Agora é só simplificar. Dividindo os dois lados por 1\,000, todos os valores passam a ser dados em milhares de reais:

100n + 350 = 120n + 150

Conferindo: 350 - 150 = 20n, logo n = 10 km. Com 10 km, a primeira cobra 1\,350\,000 e a segunda também 1\,350\,000, então o resultado faz sentido.

As alternativas C, D e E colocam o fixo somado a n dentro de parênteses, o que não representa o custo, pois o valor por km multiplica só n. A alternativa B troca os valores fixos entre as empresas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Btroca os valores fixos: associa R$ 150 mil à primeira empresa e R$ 350 mil à segunda.
  • Cmultiplica o valor por km pela soma de n com o fixo, o que não representa o custo.
  • Dmesmo erro de C, e ainda mistura unidades ao usar valores em reais com os de milhares.
  • Emultiplica os valores fixos por (n + \text{valor por km}), invertendo os papéis das grandezas.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Função afim.

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