Questão 155 do ENEM 2011

Question

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual \alpha fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2\alpha. A figura ilustra essa situação:

Esquema geométrico mostrando a trajetória horizontal do barco através dos pontos A e B, com seta indicando o sentido do movimento, e o ponto P acima da trajetória. O segmento AP forma ângulo alfa com o segmento AB, e o segmento BP forma ângulo 2 alfa com a continuação da trajetória à direita de B.

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo \alpha = 30^\circ e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância \text{AB} = 2\ 000\text{ m}. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

A
1\ 000\text{ m.}
B
1\ 000\sqrt{3}\text{ m.}
C
2\ 000\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ m.}
D
2\ 000\text{ m.}
E
2\ 000\sqrt{3}\text{ m.}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 155 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual \alpha fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2\alpha. A figura ilustra essa situação:

Esquema geométrico mostrando a trajetória horizontal do barco através dos pontos A e B, com seta indicando o sentido do movimento, e o ponto P acima da trajetória. O segmento AP forma ângulo alfa com o segmento AB, e o segmento BP forma ângulo 2 alfa com a continuação da trajetória à direita de B.

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo \alpha = 30^\circ e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância \text{AB} = 2\ 000\text{ m}. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

A
1\ 000\text{ m.}
B
1\ 000\sqrt{3}\text{ m.}
C
2\ 000\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ m.}
D
2\ 000\text{ m.}
E
2\ 000\sqrt{3}\text{ m.}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A menor distância do barco até P é a distância de P à reta da trajetória, ou seja, a altura h do triângulo ABP em relação a essa reta.

O ângulo 2\alpha = 60^\circ está fora do triângulo, em B. Ele é ângulo externo, e o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele:

2\alpha = \alpha + \hat{P} \Rightarrow \hat{P} = \alpha = 30^\circ

Assim, o triângulo ABP tem ângulos de 30^\circ em A e em P, então é isósceles, com BP = AB = 2\ 000\text{ m}.

Seja H o pé da perpendicular de P à reta da trajetória. No triângulo retângulo BHP, o ângulo em B é 60^\circ e a hipotenusa é BP:

\sen 60^\circ = \dfrac{h}{BP}
h = 2\ 000 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}
h = 1\ 000\sqrt{3}\text{ m}

A menor distância é, portanto, 1\ 000\sqrt{3}\text{ m}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: BP = 2\ 000\text{ m} também aparece no triângulo isósceles, mas não é a menor distância, que é a perpendicular.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa \sen 30^\circ (ou \cos 60^\circ) em vez de \sen 60^\circ, obtendo 2\ 000\cdot\frac12.
Cconfunde com \tg 30^\circ = \frac{\sqrt3}{3}, aplicado sobre AB, sem relação com a altura.
Dtoma a distância BP = AB como a menor distância, sem usar a perpendicular à trajetória.
Emultiplica 2\ 000 por \sqrt3 inteiro, esquecendo o fator \frac12 do seno de 60^\circ.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 155 no caderno Azul do ENEM 2011

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