Questão 150 do ENEM 2011

Question

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

Plano cartesiano com eixos X e Y graduados de -8 a 8 de 2 em 2 unidades, contendo uma reta que intercepta o eixo X em -4 e o eixo Y em 4.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5\text{ km}.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

A
(-5, 0).
B
(-3, 1).
C
(-2, 1).
D
(0, 4).
E
(2, 6).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 150 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

Plano cartesiano com eixos X e Y graduados de -8 a 8 de 2 em 2 unidades, contendo uma reta que intercepta o eixo X em -4 e o eixo Y em 4.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5\text{ km}.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

A
(-5, 0).
B
(-3, 1).
C
(-2, 1).
D
(0, 4).
E
(2, 6).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A estação precisa estar sobre a reta y = x + 4 e a no máximo 5\text{ km} do hospital P=(-5,5). Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos: d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

Primeiro, verificamos quais alternativas estão sobre a reta, substituindo x em y=x+4:

(A) (-5,0): y=-5+4=-1\neq 0. Não está na reta.
(B) (-3,1): y=-3+4=1. Está na reta.
(C) (-2,1): y=-2+4=2\neq 1. Não está.
(D) (0,4): y=4. Está na reta.
(E) (2,6): y=6. Está na reta.

Restam B, D e E. Calculamos a distância de cada uma até P:

B: d=\sqrt{(-3+5)^2+(1-5)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx 4{,}5, que é menor que 5.
D: d=\sqrt{(0+5)^2+(4-5)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\approx 5{,}1, maior que 5.
E: d=\sqrt{(2+5)^2+(6-5)^2}=\sqrt{50}\approx 7{,}1, maior que 5.

Só o ponto (-3,1) está na linha do metrô e a no máximo 5\text{ km} do hospital.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana: o ponto (-5,0) está exatamente a 5\text{ km} do hospital, mas não está sobre a reta do metrô; a D fica muito perto de 5 km, mas passa um pouco.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO ponto (-5,0) está a 5\text{ km} do hospital, mas não pertence à reta y=x+4, então não é estação do metrô.
CO ponto (-2,1) não satisfaz y=x+4 (daria y=2), logo não está na linha.
DEstá na reta, mas a distância é \sqrt{26}\approx 5{,}1\text{ km}, maior que 5.
EEstá na reta, mas a distância é \sqrt{50}\approx 7{,}1\text{ km}, bem acima de 5.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 150 no caderno Azul do ENEM 2011

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