Questão 137 do ENEM 2011

Question

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M_{\text{w}}), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_{\text{w}} e M_0 se relacionam pela fórmula:

M_W = -10{,}7 + \frac{2}{3} \log_{10} (M_0)

Onde M_0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o \text{dina}\cdot\text{cm}.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_W = 7{,}3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M_0 do terremoto de Kobe (em \text{dina}\cdot\text{cm})?

A
10^{-5{,}10}
B
10^{-0{,}73}
C
10^{12{,}00}
D
10^{21{,}65}
E
10^{27{,}00}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 137 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M_{\text{w}}), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_{\text{w}} e M_0 se relacionam pela fórmula:

M_W = -10{,}7 + \frac{2}{3} \log_{10} (M_0)

Onde M_0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o \text{dina}\cdot\text{cm}.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_W = 7{,}3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M_0 do terremoto de Kobe (em \text{dina}\cdot\text{cm})?

A
10^{-5{,}10}
B
10^{-0{,}73}
C
10^{12{,}00}
D
10^{21{,}65}
E
10^{27{,}00}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A fórmula relaciona a magnitude M_W ao momento sísmico M_0 por meio de um logaritmo na base 10. Para achar M_0, basta substituir M_W = 7{,}3 e isolar o logaritmo.

Substituindo: 7{,}3 = -10{,}7 + \frac{2}{3}\log_{10}(M_0)
Somando 10{,}7 dos dois lados: \frac{2}{3}\log_{10}(M_0) = 7{,}3 + 10{,}7 = 18
Multiplicando por \frac{3}{2}: \log_{10}(M_0) = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27
Pela definição de logaritmo, \log_{10}(M_0) = 27 significa M_0 = 10^{27}.

Assim, M_0 = 10^{27{,}00}\ \text{dina}\cdot\text{cm}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AResulta de erro de sinal ao isolar o logaritmo, subtraindo 10{,}7 em vez de somar.
BConfunde M_0 com o valor da magnitude, usando o expoente -0{,}73, sem resolver a equação.
CEsquece de multiplicar por \frac{3}{2} ao isolar o logaritmo, ficando com 18 dividido por outro valor errado.
DMultiplica por \frac{2}{3} em vez de \frac{3}{2} em algum passo, ou erra a soma, obtendo expoente incorreto.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 137 no caderno Azul do ENEM 2011

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