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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 163 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.

Ilustração de egípcios empurrando um grande bloco retangular de pedra sobre troncos cilíndricos que rolam no chão. À direita, outro tronco cilíndrico mostra a indicação do raio R de sua base circular.

BOLT, Brian. Atividades matemáticas.Ed.Gradiva.

Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é

  1. A
    y = \text{R}.
  2. B
    y = 2\text{R}.
  3. C
    y = \pi\text{R}.
  4. D
    y = 2\pi\text{R}.
  5. E
    y = 4\pi\text{R}.
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Resolução comentada

Quando o rolo gira sem deslizar, o comprimento de chão percorrido pelo rolo em uma volta é igual ao comprimento da sua circunferência: C = 2\pi R.

Mas o bloco não anda só isso. O bloco está apoiado no topo do rolo, e o topo se move com o dobro da velocidade do centro do rolo.

  1. O ponto de contato do rolo com o chão está parado (não há deslizamento).
  2. O centro do rolo avança 2\pi R em uma volta completa.
  3. O ponto mais alto do rolo está a uma distância 2R do ponto de contato, então se move com o dobro da velocidade do centro, e avança 2 \cdot 2\pi R.
  4. O bloco acompanha o topo do rolo, e o deslocamento dele é
y = 2 \cdot 2\pi R = 4\pi R.

Outra forma de ver: enquanto o rolo dá uma volta, o topo se desloca 2\pi R em relação ao centro e o centro se desloca 2\pi R em relação ao chão. Somando, o bloco anda 4\pi R.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: 2\pi R é o avanço do centro do rolo, mas o bloco está no topo e avança 4\pi R.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa apenas o raio, sem relação com o comprimento da circunferência percorrida.
  • BUsa o diâmetro, que não é o deslocamento após uma volta.
  • CUsa metade da circunferência, um erro de conta sem sentido para uma volta completa.
  • DDá só o deslocamento do centro do rolo, esquecendo que o bloco, no topo, anda o dobro.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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