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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 153 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Cilindro

Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.

Três tanques cilíndricos na horizontal: tanque (I) com diâmetro de 4 m e comprimento de 6 m; tanque (II) com diâmetro de 4 m e comprimento de 8 m; e tanque (III) com diâmetro de 6 m e comprimento de 8 m.

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere \pi \cong 3)

  1. A
    I, pela relação área/capacidade de armazenamento de \frac{1}{3}.
  2. B
    I, pela relação área/capacidade de armazenamento de \frac{4}{3}.
  3. C
    II, pela relação área/capacidade de armazenamento de \frac{3}{4}.
  4. D
    III, pela relação área/capacidade de armazenamento de \frac{2}{3}.
  5. E
    III, pela relação área/capacidade de armazenamento de \frac{7}{12}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O custo é proporcional à área lateral, então o menor custo por metro cúbico corresponde à menor razão entre área lateral e volume.

Para um cilindro de diâmetro d (raio r=d/2) e comprimento h:

  • área lateral: A = 2\pi r h
  • volume: V = \pi r^2 h

Com \pi \cong 3:

  1. Tanque I (r=2, h=6): A = 2\cdot3\cdot2\cdot6 = 72\ \text{m}^2 e V = 3\cdot4\cdot6 = 72\ \text{m}^3. Razão A/V = 1.
  2. Tanque II (r=2, h=8): A = 2\cdot3\cdot2\cdot8 = 96\ \text{m}^2 e V = 3\cdot4\cdot8 = 96\ \text{m}^3. Razão A/V = 1.
  3. Tanque III (r=3, h=8): A = 2\cdot3\cdot3\cdot8 = 144\ \text{m}^2 e V = 3\cdot9\cdot8 = 216\ \text{m}^3. Razão A/V = \frac{144}{216} = \frac{2}{3}.

Note que A/V = \frac{2}{r}, então quanto maior o raio, menor a razão. O tanque III, de maior raio, tem a menor razão (\frac{2}{3}, contra 1 dos outros dois), logo o menor custo por metro cúbico.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEscolhe o tanque I, mas sua razão área/volume é 1, não \frac{1}{3}, e não é a menor.
  • BEscolhe o tanque I com razão \frac{4}{3}, valor que não sai das contas; a razão real é 1.
  • CO tanque II tem razão 1, não \frac{3}{4}, e o comprimento maior não reduz a razão.
  • EIndica o tanque III, mas com razão \frac{7}{12} errada; o valor correto é \frac{2}{3}.

Assuntos: Cilindro, Razão e proporção.

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Nos cadernos: Amarelo 162Cinza 153Azul 153Rosa 162