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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 149 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Função afim

Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

Três figuras formadas por quadrados alinhados lado a lado: Figura I, com um quadrado; Figura II, com dois quadrados que compartilham um lado; e Figura III, com três quadrados que compartilham lados.

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?

  1. A
    C = 4Q
  2. B
    C = 3Q + 1
  3. C
    C = 4Q - 1
  4. D
    C = Q + 3
  5. E
    C = 4Q - 2
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Resolução comentada

Cada figura é uma fileira de quadrados lado a lado, e quadrados vizinhos compartilham um canudo. Vamos contar os canudos e procurar o padrão.

  1. Figura I (Q=1): um quadrado isolado tem 4 lados, então C=4.
  2. Figura II (Q=2): são 2 quadrados com um lado em comum. Sem o compartilhamento seriam 2\cdot 4 = 8 canudos, mas o canudo do meio é contado uma vez só: C = 8-1 = 7.
  3. Figura III (Q=3): sem compartilhar seriam 3\cdot 4 = 12 canudos, e há 2 lados em comum: C = 12-2 = 10.

Os valores 4, 7, 10 crescem de 3 em 3: cada quadrado novo acrescenta 3 canudos, porque um de seus lados já existe (é o lado do quadrado anterior). Então:

C = 3Q + 1

Para conferir: Q=1 \Rightarrow 3+1=4; Q=2 \Rightarrow 6+1=7; Q=3 \Rightarrow 9+1=10. Todos batem com a contagem direta.

Outra forma de ver: 4Q menos os Q-1 lados compartilhados dá 4Q-(Q-1)=3Q+1.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A4Q conta cada quadrado separado, sem descontar os lados compartilhados.
  • C4Q-1 desconta só um lado compartilhado, o que só vale para Q=2; para Q=3 dá 11, e o correto é 10.
  • DQ+3 dá 4, 5 e 6 para Q=1,2,3, mas o número real é 4, 7 e 10.
  • E4Q-2 dá 2 para Q=1, valor impossível, pois um quadrado tem 4 canudos.

Assuntos: Função afim, Sequências e padrões.

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