Questão 147 do ENEM 2010

Question

A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

Dois esquemas das vias entre as cidades A e B. Na Figura I, A liga-se a C pela via E1 e a D pela via E2; C liga-se a B pelas vias E3 e E4, e D liga-se a B pelas vias E5 e E6. Na Figura II, as respectivas probabilidades de engarrafamento são 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,4 e 0,6.

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível.

O melhor trajeto para Paula é

A
E1E3.
B
E1E4.
C
E2E4.
D
E2E5.
E
E2E6.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 147 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

Dois esquemas das vias entre as cidades A e B. Na Figura I, A liga-se a C pela via E1 e a D pela via E2; C liga-se a B pelas vias E3 e E4, e D liga-se a B pelas vias E5 e E6. Na Figura II, as respectivas probabilidades de engarrafamento são 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,4 e 0,6.

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível.

O melhor trajeto para Paula é

A
E1E3.
B
E1E4.
C
E2E4.
D
E2E5.
E
E2E6.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para ter a menor probabilidade de engarrafamento no trajeto, Paula deve escolher a maior probabilidade de não encontrar engarrafamento nas duas vias. Como os eventos são independentes, multiplicamos as probabilidades de trânsito livre. Depois, subtraímos o resultado de 1 para obter a probabilidade de pegar ao menos um engarrafamento.

Pela cidade C, Paula precisa usar E1 e, em seguida, E3 ou E4:

E1E3: trânsito livre com probabilidade (1-0{,}8)(1-0{,}5)=0{,}10; logo, a probabilidade de engarrafamento é 0{,}90.
E1E4: trânsito livre com probabilidade (1-0{,}8)(1-0{,}3)=0{,}14; logo, a probabilidade de engarrafamento é 0{,}86.

Pela cidade D, Paula precisa usar E2 e, em seguida, E5 ou E6:

E2E5: trânsito livre com probabilidade (1-0{,}7)(1-0{,}4)=0{,}18; logo, a probabilidade de engarrafamento é 0{,}82.
E2E6: trânsito livre com probabilidade (1-0{,}7)(1-0{,}6)=0{,}12; logo, a probabilidade de engarrafamento é 0{,}88.

A menor probabilidade é 0{,}82, no trajeto E2E5. Já E2E4 não forma um trajeto: essas vias chegam a pontos intermediários diferentes. Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C combina E2 e E4, mas elas não se conectam no mesmo ponto intermediário.

Por que as outras alternativas estão erradas

AE1E3 tem 90% de probabilidade de engarrafamento, não a menor.
BE1E4 tem 86% de probabilidade de engarrafamento, maior que a de E2E5.
CE2 termina em D, enquanto E4 parte de C; as vias não formam um trajeto.
EE2E6 tem 88% de probabilidade de engarrafamento, maior que a de E2E5.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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