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Questão 142 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas.

Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade?

  1. A
    Gráfico de altura (cm) em função da idade (anos). A altura cresce continuamente de 51 cm aos 0 anos para 148 cm aos 10 anos, 171 cm aos 17 anos e 180 cm em uma idade posterior; a inclinação diminui a cada trecho, até o gráfico ficar horizontal.
  2. B
    Gráfico de altura (cm) em função da idade (anos). A altura cresce de 51 cm aos 0 anos para 148 cm aos 10 anos, permanece constante até os 17 anos e então sobe em degraus para 171 cm e, posteriormente, 180 cm.
  3. C
    Gráfico de altura (cm) em função da idade (anos). Segmentos verticais aparecem aos 0, 10 e 17 anos e em uma idade posterior, junto aos níveis de 51, 148, 171 e 180 cm, respectivamente.
  4. D
    Gráfico de altura (cm) em função da idade (anos). A altura parte de 51 cm aos 0 anos, cresce em trechos inclinados separados por saltos verticais aos 10 e 17 anos, chega a 180 cm em uma idade posterior e então permanece constante.
  5. E
    Gráfico de altura (cm) em função da idade (anos). A altura permanece em 51 cm dos 0 aos 10 anos e sobe em degraus para 148 cm aos 10 anos, 171 cm aos 17 anos e 180 cm em uma idade posterior.
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Resolução comentada

A altura de uma pessoa cresce de forma contínua, sem saltos nem períodos de parada antes da fase adulta. O gráfico deve ser uma curva (ou linha quebrada) crescente e sem interrupções. A "rapidez" da variação corresponde à inclinação: quanto mais inclinado o trecho, mais rápido o crescimento.

Calculando a inclinação média em cada intervalo:

  1. De 0 a 10 anos: \dfrac{148-51}{10-0}=9{,}7\ \text{cm/ano}.
  2. De 10 a 17 anos: \dfrac{171-148}{17-10}\approx 3{,}3\ \text{cm/ano}.
  3. Depois dos 17 anos: o crescimento diminui ainda mais (de 171 para 180 cm, em uma idade posterior) e depois se estabiliza, com inclinação zero.

Assim, o gráfico precisa ser contínuo, crescente e com inclinações cada vez menores: primeiro trecho o mais inclinado, segundo menos, terceiro menos ainda, e por fim horizontal.

O gráfico A é o único assim: liga os pontos (0, 51), (10, 148), (17, 171) e (idade posterior, 180) por segmentos contínuos, com inclinação decrescente, e termina horizontal. Os demais têm degraus, saltos ou trechos parados, o que significaria crescer de repente ou não crescer, e isso contradiz o enunciado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bmostra a altura parada dos 10 aos 17 anos e depois saltos, quando o enunciado diz que ele continua crescendo, só que mais devagar.
  • Csó tem segmentos verticais, como se a altura variasse apenas em instantes isolados, sem continuidade.
  • Dtem saltos verticais aos 10 e 17 anos, ou seja, crescimento instantâneo, o que não ocorre.
  • Emantém a altura constante entre as idades e dá saltos, sem crescimento contínuo.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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