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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 153 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

Escultura geométrica com elementos prismáticos numerados de I a IV, indicando uma face alfa no prisma I e um ponto P sobre uma aresta do poliedro II

Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.

Imagine um plano paralelo à face \alpha do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém

  1. A
    dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.
  2. B
    dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.
  3. C
    dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
  4. D
    dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.
  5. E
    dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Esta é a questão 153 do ENEM 2009. O gabarito oficial é a alternativa A, e a resolução segue nessa direção.

A face \alpha é a base triangular do prisma I, que é reto. Um plano paralelo a \alpha é, portanto, paralelo às bases triangulares dos prismas retos e perpendicular às suas arestas laterais.

O enunciado diz que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II. Assim, I e III têm a mesma direção, e o plano paralelo a \alpha também é perpendicular a esses prismas.

  1. O plano passa pelo ponto P, que está no poliedro II, e por isso corta II.
  2. As faces laterais de II são perpendiculares à sua face superior, que é um triângulo congruente à base dos prismas. Logo, II também é um prisma reto de base triangular, e o corte paralelo à face superior dá um triângulo congruente a ela, com lados paralelos.
  3. O mesmo plano corta o prisma IV, que é perpendicular a I e III. O corte em IV também é paralelo às bases, portanto é um triângulo congruente à base.

Assim, a interseção contém dois triângulos, um no poliedro II e outro no prisma IV. Eles são congruentes e têm lados correspondentes paralelos, pois ambos são paralelos à mesma face \alpha.

Não aparecem retângulos, trapézios ou paralelogramos, porque o plano é paralelo às bases triangulares e não às faces laterais.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BRetângulos surgiriam em um corte paralelo às arestas laterais, mas o plano é paralelo à base triangular.
  • CUm corte paralelo à base triangular não gera trapézios.
  • DNão há paralelogramos: as seções paralelas às bases triangulares são triângulos.
  • EAs seções são triângulos, não quadriláteros.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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