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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 145 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0{,}2\%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

  1. A
    2 \times (0{,}2\%)^4.
  2. B
    4 \times (0{,}2\%)^2.
  3. C
    6 \times (0{,}2\%)^2 \times (99{,}8\%)^2.
  4. D
    4 \times (0{,}2\%).
  5. E
    6 \times (0{,}2\%) \times (99{,}8\%).
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Resolução comentada

Cada aparelho é defeituoso com probabilidade p = 0{,}2\% e perfeito com probabilidade 1-p = 99{,}8\%. Os aparelhos são independentes, então podemos multiplicar as probabilidades.

Queremos exatamente 2 defeituosos entre 4. Vamos por partes:

  1. Uma ordem específica, por exemplo (defeituoso, defeituoso, bom, bom), tem probabilidade (0{,}2\%)^2 \times (99{,}8\%)^2.
  2. Os 2 defeituosos podem estar em posições diferentes. O número de maneiras de escolher quais 2 dos 4 aparelhos são defeituosos é
    \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6.
  3. Cada uma dessas 6 configurações tem a mesma probabilidade do passo 1, e elas não podem ocorrer ao mesmo tempo, então somamos:
P = 6 \times (0{,}2\%)^2 \times (99{,}8\%)^2.

Essa é a distribuição binomial: \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} com n=4 e k=2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa (0{,}2\%)^4, que corresponde a os 4 aparelhos defeituosos, e o coeficiente 2 não tem sentido.
  • BEsquece de multiplicar pela probabilidade de os outros 2 serem bons e usa o coeficiente 4 em vez de 6.
  • DConsidera apenas a chance de um aparelho ser defeituoso, multiplicada por 4.
  • ETrata como se fosse um defeituoso e um bom, com expoentes 1, o que não representa 2 defeituosos em 4.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Combinações e binômio de Newton.

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