Questão 140 do ENEM 2009

Question

O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = \dfrac{BC}{2}, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = \dfrac{AB}{5} é lado do quadrado.

Terreno retangular ABCD, com A no canto inferior esquerdo, B no superior esquerdo, C no superior direito e D no inferior direito. O ponto E está no lado AD, próximo de A, e um pequeno quadrado de lado AE está demarcado no vértice A.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele

A
duplicasse a medida do lado do quadrado.
B
triplicasse a medida do lado do quadrado.
C
triplicasse a área do quadrado.
D
ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
E
ampliasse a área do quadrado em 4%.

Answer 1

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Questão 140 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H18 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = \dfrac{BC}{2}, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = \dfrac{AB}{5} é lado do quadrado.

Terreno retangular ABCD, com A no canto inferior esquerdo, B no superior esquerdo, C no superior direito e D no inferior direito. O ponto E está no lado AD, próximo de A, e um pequeno quadrado de lado AE está demarcado no vértice A.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele

A
duplicasse a medida do lado do quadrado.
B
triplicasse a medida do lado do quadrado.
C
triplicasse a área do quadrado.
D
ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
E
ampliasse a área do quadrado em 4%.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Chame AB = x. Então BC = 2x e a área do terreno é x \cdot 2x = 2x^2.

O lado do quadrado é AE = \dfrac{x}{5}, então a área construída é \left(\dfrac{x}{5}\right)^2 = \dfrac{x^2}{25}.

A condição exige que, no mínimo, 94% do terreno seja área de preservação. Logo, a área construída pode ocupar no máximo 6% do terreno:

0{,}06 \cdot 2x^2 = 0{,}12x^2 = \dfrac{3x^2}{25}

O limite exato ocorre quando a área do quadrado for \dfrac{3x^2}{25}.

Compare com a área atual, \dfrac{x^2}{25}:

\dfrac{3x^2/25}{x^2/25} = 3

Portanto, a área do quadrado precisa triplicar.

Conferindo as alternativas de lado: triplicar a área significa multiplicar o lado por \sqrt{3}, e não por 2 nem por 3. Duplicar o lado quadruplicaria a área, e triplicar o lado a multiplicaria por 9. Aumentar a área em 4% ou o lado em 4% mal muda o valor.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas A e B confundem o aumento do lado com o aumento da área; como a área depende do quadrado do lado, dobrar ou triplicar o lado não triplica a área.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aduplicar o lado quadruplica a área (4 vezes), passando do limite de 6%.
Btriplicar o lado multiplica a área por 9, muito acima do limite.
Daumentar o lado em 4% quase não altera a área, que ficaria longe de triplicar.
Econfunde os 4% (100% − 96%) com o aumento necessário; a área precisa crescer 200%.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Porcentagem.

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