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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 34 do ENEM 2005

Prova · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.

A nova estação deve ser localizada

  1. A
    no centro do quadrado.
  2. B
    na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.
  3. C
    na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.
  4. D
    no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.
  5. E
    no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
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Resolução comentada

Coloque o quadrado em coordenadas: A=(0,0), B=(40,0), C=(40,40), D=(0,40). A estrada é a reta CD, de equação y=40.

O ponto P=(x,y) deve ser equidistante de A e B. Isso significa que P está na mediatriz de AB, a reta x=20. Essa reta também é a perpendicular a CD passando pelo ponto médio de CD. Logo, P=(20, y).

Agora P deve ser equidistante de A e da reta CD (ponto abaixo da reta, com y<40):

  1. Distância de P a A: \sqrt{20^2+y^2}.
  2. Distância de P à reta y=40: 40-y.

Igualando:

\sqrt{400+y^2}=40-y

Elevando ao quadrado:

400+y^2=1600-80y+y^2
80y=1200 \Rightarrow y=15

A distância de P à estrada CD é 40-15=25 km. Conferindo: \sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25. Confere.

Portanto, a estação fica na perpendicular a CD pelo seu ponto médio, a 25 km da estrada (e a 15 km de AB).

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem acha 15 km (a altura y em relação a AB) e esquece de medir a distância até a estrada CD, que é 40 − 15 = 25 km.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO centro está a 20 km de CD, mas sua distância a A é cerca de 28,3 km, então não é equidistante.
  • B15 km é a distância do ponto até a reta AB (o valor de y), não até a estrada CD, que é 25 km.
  • DO vértice do triângulo equilátero está a cerca de 34,6 km de AB, ficando a 40 km de A mas a apenas 5,4 km de CD.
  • EO ponto médio de AB está a 40 km de CD e a 20 km de A, então não é equidistante.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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