Questão 53 do ENEM 2001

Question

Em um colégio, 40\% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5\% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5\% na folha de pagamento dos professores.

A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades mas não com o índice proposto.

Pode-se afirmar que

A
o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
B
o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais.
C
a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
D
a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
E
o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.

Answer 1

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Questão 53 do ENEM 2001

Prova · Matemática: Aumentos, descontos e variação percentual

Em um colégio, 40\% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5\% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5\% na folha de pagamento dos professores.

A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades mas não com o índice proposto.

Pode-se afirmar que

A
o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
B
o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais.
C
a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
D
a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
E
o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.

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Resolução comentada

Chame de A a arrecadação total com mensalidades. Os salários dos professores custam 0{,}40A.

Reajuste de 5\% na folha de pagamento: o gasto adicional é 0{,}05 \times 0{,}40A = 0{,}02A, ou seja, 2\% da arrecadação.
Aumento de 5\% em todas as mensalidades: a arrecadação adicional é 0{,}05 \times A = 0{,}05A, ou seja, 5\% da arrecadação.
Comparação: 0{,}05A contra 0{,}02A. O aumento arrecada 2{,}5 vezes o que é necessário, então sobra bastante dinheiro.

O aumento de 5\% vale para todos os alunos, inclusive os carentes, porque ele incide sobre a arrecadação total, qualquer que seja o valor de cada mensalidade. Por isso a metade de alunos com mensalidade reduzida não muda a conta.

O índice que cobriria exatamente o gasto seria 2\%. A associação está certa em discordar do índice de 5\%, pois a arrecadação adicional supera em muito os gastos adicionais.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem iguala os dois 5% sem notar que um incide sobre a folha (40% da arrecadação) e o outro sobre a arrecadação inteira; a metade de alunos carentes é só distrator.

Por que as outras alternativas estão erradas

AOs 5\% sobre toda a arrecadação rendem 0{,}05A, bem mais que os 0{,}02A necessários; o reajuste sobra, não falta.
BConfunde os 5\% sobre a folha com 5\% sobre a arrecadação total; a folha é só 40\% dela.
DOs alunos carentes já estão incluídos na arrecadação total, e o percentual vale para todos, então a associação não ignorou nada.
EUm reajuste maior agravaria o excesso; o necessário seria menor, cerca de 2\%.

Assuntos: Aumentos, descontos e variação percentual, Porcentagem.

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Questão 53 no caderno Amarela do ENEM 2001