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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 do ENEM 2000

Prova · Matemática: Função quadrática

Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:

  1. A
    11.000.
  2. B
    22.000.
  3. C
    33.000.
  4. D
    38.000.
  5. E
    44.000.
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Resolução comentada

O enunciado original do ENEM 2000 (o texto "acima descrito" não veio aqui) diz que a rapidez de propagação de um boato é proporcional ao produto de duas quantidades: o número de pessoas que já conhecem o boato, x, e o número de pessoas que ainda não o conhecem, P - x. Com P = 44.000, usei esse modelo.

A rapidez fica:

V(x) = k\,x\,(P - x)

Isso é uma função do 2º grau em x, com k > 0 e coeficiente de x^2 negativo. O gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, e o máximo está no vértice.

  1. As raízes são x = 0 (ninguém sabe) e x = P = 44.000 (todos sabem).
  2. O vértice fica no ponto médio das raízes:
x_v = \frac{0 + 44.000}{2} = 22.000
  1. Conferindo: em x = 22.000, o produto é 22.000 \cdot 22.000 = 4{,}84\cdot 10^8. Em x = 33.000, é 33.000 \cdot 11.000 = 3{,}63\cdot 10^8, menor.

A propagação é mais rápida quando metade do público já conhece o boato: nesse ponto há o maior número de "transmissores" e, ao mesmo tempo, o maior número de "ouvintes" possíveis.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde a um quarto do público; o vértice da parábola está na metade, não em P/4.
  • CCorresponde a três quartos do público; nesse ponto o produto x(P-x) já é menor que o máximo.
  • DValor sem relação com o vértice; está perto do fim da propagação, quando restam poucos ouvintes.
  • ECom todos já sabendo, não há mais ninguém para ouvir e a rapidez é zero.

Assunto: Função quadrática.

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Ver como caiu na prova Questão 42 no caderno Amarela do ENEM 2000