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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 do ENEM 2000

Prova · Matemática: Função quadrática

Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k \text{.} x \text{.} (P - x), onde k é uma constante positiva característica do boato.

O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é:

  1. A
    Gráfico cartesiano no primeiro quadrante com eixos R vertical e x horizontal, apresentando uma função em escada crescente composta por quatro segmentos horizontais, cada um com extremidade esquerda fechada (círculo preenchido) e extremidade direita aberta (círculo não preenchido).
  2. B
    Gráfico cartesiano no primeiro quadrante com eixos R vertical e x horizontal, apresentando uma reta horizontal constante paralela ao eixo x com valor positivo de R.
  3. C
    Gráfico cartesiano no primeiro quadrante com eixos R vertical e x horizontal, apresentando uma parábola com concavidade voltada para cima cujo vértice tangencia o eixo x.
  4. D
    Gráfico cartesiano no primeiro quadrante com eixos R vertical e x horizontal, apresentando uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical R em um valor positivo e desce em direção ao eixo x.
  5. E
    Gráfico cartesiano no primeiro quadrante com eixos R vertical e x horizontal, apresentando uma parábola com concavidade voltada para baixo, partindo da origem (0, 0) e retornando ao eixo horizontal x em um valor positivo.
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Resolução comentada

Desenvolvendo a função, temos:

R(x) = k\,x\,(P-x) = -k x^2 + kPx

Isso é uma função quadrática, então o gráfico é uma parábola. Vamos ver suas características:

  1. Concavidade: o coeficiente de x^2 é a=-k. Como k>0, temos a<0, e a concavidade fica voltada para baixo.
  2. Raízes: k\,x\,(P-x)=0 dá x=0 ou x=P. A parábola corta o eixo x na origem e no ponto (P,0), com P>0.
  3. Vértice: fica no ponto médio das raízes, x_v=\dfrac{P}{2}, com valor máximo R\left(\dfrac{P}{2}\right)=\dfrac{kP^2}{4}>0.

Portanto, o gráfico é uma parábola de concavidade para baixo que parte da origem, sobe até o máximo e volta ao eixo x em x=P. Isso faz sentido: a rapidez é nula quando ninguém conhece o boato (x=0) e quando todos já o conhecem (x=P), e é máxima no meio.

O gráfico da alternativa E mostra exatamente isso.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMostra uma função em escada, que não é quadrática; R(x) é contínua e polinomial.
  • BReta horizontal seria função constante, mas R depende de x e se anula em 0 e em P.
  • CParábola com concavidade para cima e R(0)>0, mas aqui a=-k<0 e R(0)=0.
  • DReta decrescente com R(0)>0 seria função afim, e R(0)=0 nesta função.

Assunto: Função quadrática.

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