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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 do ENEM 1999

Prova · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Texto-base das questões 24 a 25 · Amarela

José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.

Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x;y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR ao lado indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x;y):

Gráfico no plano cartesiano mostrando um quadrado de vértices O(0, 0), R(1, 0), Q(1, 1) e P(0, 1). O eixo horizontal representa a 'Chegada de José', variando de 0 (12h) a 1 (13h). O eixo vertical representa a 'Chegada de Antônio', variando de 0 (12h) a 1 (13h).

Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário que

y - x \le 1/2 ou que x - y \le 1/2.

Gráfico no plano cartesiano com o eixo horizontal representando José e o eixo vertical representando Antônio, ambos variando de 0 a 1 com marcas em 1/2 e 1. As retas y = x + 1/2, y = x e y = x - 1/2 cortam a região quadrada delimitada pelos intervalos de 0 a 1 em ambos os eixos, dividindo-a nas regiões I, II, III e IV.

De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem juntos são de:

  1. A
    0%
  2. B
    25%
  3. C
    50%
  4. D
    75%
  5. E
    100%
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Resolução comentada

Como os dois chegam de modo independente em qualquer instante entre 12h e 13h, todos os pontos do quadrado de lado 1 são igualmente possíveis. A probabilidade é então a razão entre áreas: área favorável dividida pela área total.

Os dois viajam juntos quando a diferença entre os horários é de no máximo meia hora, isto é, |x-y| \le \tfrac12. Isso corresponde à faixa entre as retas y = x + \tfrac12 e y = x - \tfrac12, ou seja, às regiões II e III do gráfico.

  1. Área total do quadrado: 1 \cdot 1 = 1.
  2. Região I (acima de y = x + \tfrac12): triângulo retângulo de catetos \tfrac12 e \tfrac12, com área \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac18.
  3. Região IV (abaixo de y = x - \tfrac12): triângulo igual, com área \tfrac18.
  4. Área favorável (II + III): 1 - \tfrac18 - \tfrac18 = \tfrac34.

Probabilidade:

P = \frac{3/4}{1} = 0{,}75 = 75\%

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula a área dos dois triângulos (1/4) e esquece de subtrair do total, respondendo a probabilidade de não viajarem juntos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a faixa central do quadrado é favorável; a chance claramente não é nula.
  • BToma como resposta a soma das áreas I e IV (que dá 25%), que são os casos em que eles não viajam juntos.
  • CSupõe que a probabilidade seja metade, sem calcular as áreas dos triângulos descartados.
  • EEsquece que, se um chegar com mais de meia hora de diferença, o outro segue sozinho.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 25 no caderno Amarela do ENEM 1999