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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 do ENEM 1999

Prova · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 24 a 25 · Amarela

José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.

Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x;y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR ao lado indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x;y):

Gráfico no plano cartesiano mostrando um quadrado de vértices O(0, 0), R(1, 0), Q(1, 1) e P(0, 1). O eixo horizontal representa a 'Chegada de José', variando de 0 (12h) a 1 (13h). O eixo vertical representa a 'Chegada de Antônio', variando de 0 (12h) a 1 (13h).

Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento “José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário” corresponde

  1. A
    à diagonal OQ.
  2. B
    à diagonal PR.
  3. C
    ao lado PQ.
  4. D
    ao lado QR.
  5. E
    ao lado OR.
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Resolução comentada

Cada ponto (x;y) do quadrado indica que José chega no horário x e Antônio no horário y, ambos medidos em horas a partir do meio-dia.

Chegar exatamente no mesmo horário significa x = y.

O conjunto dos pontos com x = y é a reta y = x, a bissetriz do primeiro quadrante. Alguns pontos dela:

  1. (0;0): os dois chegam às 12h, no vértice O.
  2. (0{,}5;0{,}5): os dois chegam às 12h30.
  3. (1;1): os dois chegam às 13h, no vértice Q.

Dentro do quadrado OPQR, essa reta liga O a Q, ou seja, é a diagonal OQ.

Conferindo as outras opções:

  • A diagonal PR liga (0;1) a (1;0) e tem equação x + y = 1. Isso quer dizer que a soma dos horários é 1 hora, não que eles sejam iguais.
  • O lado PQ é y = 1: Antônio chega às 13h e José chega em qualquer horário.
  • O lado QR é x = 1: José chega às 13h e Antônio em qualquer horário.
  • O lado OR é y = 0: Antônio chega às 12h e José em qualquer horário.

Só a diagonal OQ satisfaz x = y.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BA diagonal PR representa x+y=1 (horários simétricos em relação a 12h30), não horários iguais.
  • CO lado PQ é y=1: só Antônio chega às 13h, José chega em qualquer horário.
  • DO lado QR é x=1: só José chega às 13h, Antônio chega em qualquer horário.
  • EO lado OR é y=0: só Antônio chega às 12h, José chega em qualquer horário.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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